Shell-Theorem

Schalensatz In der klassischen Mechanik, Der Schalensatz gibt Gravitationsvereinfachungen, die auf Objekte innerhalb oder außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers angewendet werden können. Dieser Satz findet insbesondere in der Astronomie Anwendung.

Isaac Newton bewies den Schalensatz[1] und das gesagt: Ein kugelsymmetrischer Körper wirkt gravitativ auf externe Objekte, als ob seine gesamte Masse an einem Punkt in seinem Zentrum konzentriert wäre. Wenn der Körper eine kugelsymmetrische Schale ist (d.h., eine hohle Kugel), keine Netto-Schwerkraft wird von der Schale auf irgendein Objekt im Inneren ausgeübt, unabhängig von der Position des Objekts innerhalb der Hülle.

Eine logische Folge ist die innerhalb einer festen Kugel mit konstanter Dichte, Die Gravitationskraft innerhalb des Objekts ändert sich linear mit der Entfernung vom Zentrum, wird durch Symmetrie am Massenmittelpunkt zu Null. Dies kann wie folgt gesehen werden: Nehmen Sie einen Punkt innerhalb einer solchen Sphäre, auf Abstand {Anzeigestil r} vom Mittelpunkt der Kugel. Dann können Sie alle Granaten mit größerem Radius ignorieren, nach dem Schalensatz (1). Aber der Punkt kann als außerhalb der verbleibenden Sphäre mit Radius r betrachtet werden, und gem (2) Die gesamte Masse dieser Kugel kann als in ihrem Zentrum konzentriert angesehen werden. Die restliche Masse {Anzeigestil m} ist proportional zu {Anzeigestil r^{3}} (weil es volumenabhängig ist). Die auf einen Körper am Radius r ausgeübte Gravitationskraft ist proportional zu {textstyle {frac {m}{r^{2}}}} (das Abstandsquadratgesetz), also ist die gesamte Gravitationswirkung proportional zu {textstyle {frac {r^{3}}{r^{2}}}=r} , ist also linear in {Anzeigestil r} .

Diese Ergebnisse waren wichtig für Newtons Analyse der Planetenbewegung; sie sind nicht sofort offensichtlich, aber sie können mit Kalkül bewiesen werden. (Das Gaußsche Gravitationsgesetz bietet eine alternative Möglichkeit, den Satz zu formulieren.) Neben der Schwerkraft, Das Schalentheorem kann auch verwendet werden, um das elektrische Feld zu beschreiben, das durch eine statische kugelsymmetrische Ladungsdichte erzeugt wird, oder ähnlich für jedes andere Phänomen, das einem umgekehrten quadratischen Gesetz folgt. Die folgenden Ableitungen konzentrieren sich auf die Schwerkraft, aber die Ergebnisse können leicht auf die elektrostatische Kraft verallgemeinert werden.

Inhalt 1 Ableitung des Gravitationsfeldes außerhalb einer festen Kugel 2 Außerhalb einer Muschel 3 In einer Schale 4 Ableitung nach dem Gaußschen Gesetz 5 Konversationen und Verallgemeinerungen 6 Newtons Beweise 6.1 Einführung 6.2 Kraft auf einen Punkt innerhalb einer Hohlkugel 6.3 Kraft auf einen Punkt außerhalb einer Hohlkugel 7 Shell-Theorem in der allgemeinen Relativitätstheorie 8 Siehe auch 9 References Derivation of gravitational field outside of a solid sphere There are three steps to proving Newton's shell theorem. Zuerst, wird die Gleichung für ein Gravitationsfeld aufgrund eines Massenrings hergeleitet. Unendlich viele unendlich dünne Ringe zu einer Scheibe anordnen, Diese Gleichung, die einen Ring beinhaltet, wird verwendet, um das Gravitationsfeld aufgrund einer Scheibe zu finden. Endlich, unendlich viele unendlich dünne Scheiben zu einer Kugel anordnen, Diese Gleichung mit einer Scheibe wird verwendet, um das Gravitationsfeld aufgrund einer Kugel zu finden.

Das Gravitationsfeld {Anzeigestil E} an einer Position genannt {Anzeigestil P} bei {Anzeigestil (x,j)=(-p,0)} auf der x-Achse aufgrund eines Massenpunktes {Anzeigestil M} am Ursprung ist {Anzeigestil E_{Text{Punkt}}={frac {GM}{p^{2}}}} Nehmen Sie an, dass diese Masse entlang der y-Achse nach oben bewegt wird, um zu zeigen {Anzeigestil (0,R)} . Der Abstand zwischen {Anzeigestil P} und die Punktmasse ist jetzt länger als zuvor; Es wird zur Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen {Anzeigestil p} und {Anzeigestil R} welches ist {textstyle {quadrat {p^{2}+R^{2}}}} . Somit, das Gravitationsfeld des erhöhten Punktes ist: {Anzeigestil E_{Text{erhöhter Punkt}}={frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}} Die Größe des Gravitationsfeldes, das ein Teilchen an einem bestimmten Punkt anziehen würde {Anzeigestil P} in x-Richtung ist das Gravitationsfeld multipliziert mit {Anzeigestil cos(Theta )} wo {Theta im Display-Stil } ist der Winkel neben der x-Achse. In diesem Fall, {Anzeigestil cos(Theta )={frac {p}{quadrat {p^{2}+R^{2}}}}} . Somit, die Größe des Gravitationsfeldes in x-Richtung, {Anzeigestil E_{x}} ist: {Anzeigestil E_{x}={frac {GMcos {Theta }}{p^{2}+R^{2}}}} Einwechseln {Anzeigestil cos(Theta )} gibt {Anzeigestil E_{x}={frac {GMp}{links(p^{2}+R^{2}Rechts)^{3/2}}}} Nehmen Sie an, dass diese Masse gleichmäßig in einem Ring verteilt ist, der am Ursprung und am gegenüberliegenden Punkt zentriert ist {Anzeigestil P} mit gleichem Radius {Anzeigestil R} . Denn die gesamte Masse steht im gleichen Winkel zur x-Achse, und der Abstand zwischen den Punkten auf dem Ring ist derselbe Abstand wie zuvor, das Gravitationsfeld in x-Richtung am Punkt {Anzeigestil P} aufgrund des Rings ist dasselbe wie eine Punktmasse, die sich an einem Punkt befindet {Anzeigestil R} Einheiten über der y-Achse: {Anzeigestil E_{Text{Ring}}={frac {GMp}{links(p^{2}+R^{2}Rechts)^{3/2}}}} Um das Gravitationsfeld am Punkt zu finden {Anzeigestil P} wegen einer Scheibe, eine unendliche Anzahl von unendlich dünnen Ringen gegenüber {Anzeigestil P} , jeweils mit einem Radius {Anzeigestil y} , Breite von {Anzeigestil dy} , und Masse von {Displaystil dM} können ineinander gelegt werden, um eine Scheibe zu bilden. Die Masse eines der Ringe {Displaystil dM} ist die Masse der Scheibe multipliziert mit dem Verhältnis der Fläche des Rings {displaystyle 2pi y,dy} auf die Gesamtfläche der Scheibe {Anzeigestil pi R^{2}} . So, {textstyle dM={frac {Mcdot 2 Jahre,dy}{R^{2}}}} . Somit, eine kleine Änderung im Gravitationsfeld, {Anzeigestil E} ist: {Anzeigestil dE={frac {GP,dm}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}} Einwechseln {Displaystil dM} und die Integration beider Seiten ergibt das Gravitationsfeld der Scheibe: {Anzeigestil E=int {frac {GMpcdot {frac {2j,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}} Das Addieren des Beitrags zum Gravitationsfeld von jedem dieser Ringe ergibt den Ausdruck für das Gravitationsfeld aufgrund einer Scheibe. Dies ist äquivalent zur Integration dieses obigen Ausdrucks von {Anzeigestil y=0} zu {Anzeigestil y=R} , ergebend: {Anzeigestil E_{Text{Rabatt}}={frac {2GM}{R^{2}}}links(1-{frac {p}{quadrat {p^{2}+R^{2}}}}Rechts)} Um das Gravitationsfeld am Punkt zu finden {Anzeigestil P} aufgrund einer am Ursprung zentrierten Kugel, eine unendliche Menge unendlich dünner Scheiben gegenüber {Anzeigestil P} , jeweils mit einem Radius {Anzeigestil R} , Breite von {Anzeigestil dx} , und Masse von {Displaystil dM} können zusammen gestellt werden.

Die Radien dieser Scheiben {Anzeigestil R} folgen Sie der Höhe des Querschnitts einer Kugel (mit konstantem Radius {Anzeigestil a} ) was eine Halbkreisgleichung ist: {textstyle R={quadrat {ein^{2}-x^{2}}}} . {Anzeigestil x} variiert zwischen {Anzeigestil -a} zu {Anzeigestil a} .

Die Masse einer der Scheiben {Displaystil dM} ist die Masse der Kugel {Anzeigestil M} multipliziert mit dem Verhältnis des Volumens einer unendlich dünnen Scheibe geteilt durch das Volumen einer Kugel (mit konstantem Radius {Anzeigestil a} ). Das Volumen einer unendlich dünnen Scheibe ist {Anzeigestil pi R^{2},dx} , oder {Textstil pi links(ein^{2}-x^{2}Rechts)dx} . So, {textstyle dM={frac {ft M(ein^{2}-x^{2}),dx}{{frac {4}{3}}ft a^{3}}}} . Simplifying gives {textstyle dM={frac {3M(ein^{2}-x^{2}),dx}{4ein^{3}}}} .

Position jeder Scheibe entfernt von {Anzeigestil P} wird mit seiner Position innerhalb der "Sphäre" aus den Scheiben variieren, Also {Anzeigestil p} muss durch ersetzt werden {Anzeigestil p+x} .

Ersetzen {Anzeigestil M} mit {Displaystil dM} , {Anzeigestil R} mit {Anzeigestil {quadrat {ein^{2}-x^{2}}}} , und {Anzeigestil p} mit {Anzeigestil p+x} in der 'Disc'-Gleichung ergibt: {Anzeigestil dE={frac {links({frac {2Glinks[3Mlinks(ein^{2}-x^{2}Rechts)Rechts]}{4ein^{3}}}Rechts)}{{quadrat {ein^{2}-x^{2}}}^{2}}}cdot links(1-{frac {p+x}{quadrat {(p+x)^{2}+{quadrat {ein^{2}-x^{2}}}^{2}}}}Rechts),dx} Vereinfachen, {Anzeigestil int dE=int _{-a}^{a}{frac {3GM}{2ein^{3}}}links(1-{frac {p+x}{quadrat {p^{2}+ein^{2}+2px}}}Rechts)dx} Integrieren Sie das Gravitationsfeld jeder dünnen Scheibe aus {Anzeigestil x=-a} zu {Anzeigestil x=+a} in Gedenken an {Anzeigestil x} , und etwas sorgfältige Algebra, ergibt den Newtonschen Schalensatz: {Anzeigestil E={frac {GM}{p^{2}}}} wo {Anzeigestil p} ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugelmasse und einem beliebigen Punkt {Anzeigestil P} . The gravitational field of a spherical mass may be calculated by treating all the mass as a point particle at the center of the sphere.

Outside a shell A solid, Kugelsymmetrische Körper können als unendlich viele konzentrische modelliert werden, unendlich dünne Kugelschalen. Wenn eine dieser Schalen als Punktmasse behandelt werden kann, dann ein Muschelsystem (d.h. Die Sphäre) kann auch als Punktmasse behandelt werden. Betrachten Sie eine solche Hülle (das Diagramm zeigt einen Querschnitt): (Notiz: das {Anzeigestil dtheta } im Diagramm bezieht sich auf den kleinen Winkel, nicht die Bogenlänge. Die Bogenlänge ist {textstyle R,Theta } .) Anwendung des universellen Gravitationsgesetzes von Newton, die Summe der Kräfte aufgrund der Massenelemente im schraffierten Band ist {Anzeigestil dF={frac {Gm}{s^{2}}}dm.} Jedoch, da es aufgrund der Vektornatur der Kraft in Verbindung mit der Symmetrie des kreisförmigen Bandes zu einer teilweisen Aufhebung kommt, die übrig gebliebene Komponente (in die Richtung, die darauf zeigt {Anzeigestil m} ) wird von gegeben {Anzeigestil dF_{r}={frac {Gm}{s^{2}}}cos(Varphi ),dm} Die Gesamtkraft auf {Anzeigestil m} , dann, ist einfach die Summe der Kraft, die von allen Bändern ausgeübt wird. Durch Verkleinern der Breite jedes Bandes, und Erhöhen der Anzahl von Bändern, die Summe wird zu einem integralen Ausdruck: {Anzeigestil F_{r}=int dF_{r}} Seit {Anzeigestil G} und {Anzeigestil m} sind Konstanten, sie können aus dem Integral herausgenommen werden: {Anzeigestil F_{r}=Gminze {frac {cos(Varphi )}{s^{2}}},dm.} Um dieses Integral auszuwerten, man muss sich erst ausdrücken {Displaystil dM} als Funktion von {Anzeigestil dtheta } Die Gesamtoberfläche einer Kugelschale ist {Displaystyle 4pi R^{2}} während die Oberfläche der dünnen Scheibe dazwischen {Theta im Display-Stil } und {Anzeigestil theta +dtheta } ist {Anzeigestil 2pi Rsin(Theta )R,dtheta = 2pi R^{2}Sünde(Theta ),Theta } Wenn die Masse der Schale ist {Anzeigestil M} , das hat man also {Anzeigestil dM={frac {2pi R^{2}Sünde(Theta )}{4pi R^{2}}}M,dtheta ={frac {1}{2}}Frau(Theta ),Theta } und {Anzeigestil F_{r}={frac {GMm}{2}}int {frac {Sünde(Theta )cos(Varphi )}{s^{2}}},Theta } Nach dem Kosinussatz, {Anzeigestil cos(Varphi )={frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}} und {Anzeigestil cos(Theta )={frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.} Diese beiden Beziehungen verknüpfen die drei Parameter {Theta im Display-Stil } , {Anzeigestil Varphi } und {Anzeigestil s} die im Integral zusammen auftreten. Wie {Theta im Display-Stil } steigt ab {Anzeigestil 0} zu {Anzeigestil pi } Radiant, {Anzeigestil Varphi } weicht vom Anfangswert ab 0 auf einen Maximalwert, bevor er schließlich bei Null zurückkehrt {Anzeigestil theta =pi } . Zur selben Zeit, {Anzeigestil s} erhöht sich vom Anfangswert {displaystyle r-R} zum Endwert {displaystyle r+r} wie {Theta im Display-Stil } steigt ab 0 zu {Anzeigestil pi } Radiant. Dies wird in der folgenden Animation veranschaulicht: (Notiz: Wie gesehen von {Anzeigestil m} , Das schattierte blaue Band erscheint als dünner Ring, dessen innerer und äußerer Radius zusammenlaufen {Anzeigestil Rsin(Theta )} wie {Anzeigestil dtheta } verschwindet.) Eine primitive Funktion zum Integranden finden, muss man machen {Anzeigestil s} die unabhängige Integrationsvariable statt {Theta im Display-Stil } .

Durchführen einer impliziten Differenzierung der zweiten der "Kosinus Gesetz" Ausdrücke oben ergibt {displaystyle -sünde(Theta ),dtheta ={frac {-2s}{2rR}},DS} und somit {Displaystyle-Sünde(Theta ),dtheta ={frac {s}{rR}},DS.} Es folgt dem {Anzeigestil F_{r}={frac {GMm}{2}}{frac {1}{rR}}int {frac {aus(Varphi )}{s^{2}}},ds={frac {GMm}{2rR}}int {frac {cos(Varphi )}{s}},DS} wo die neue Integrationsvariable {Anzeigestil s} steigt ab {displaystyle r-R} zu {displaystyle r+r} .

Einfügen des Ausdrucks für {Anzeigestil cos(Varphi )} mit dem ersten der "Kosinus Gesetz" Ausdrücke oben, das bekommt man endlich hin {Anzeigestil F_{r}={frac {GMm}{4r^{2}R}}int links(1+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}Rechts) DS .} Eine primitive Funktion zum Integranden ist {Anzeigestil s-{frac {r^{2}-R^{2}}{s}} ,} und Einfügen der Grenzen {displaystyle r-R} und {displaystyle r+r} für die Integrationsvariable {Anzeigestil s} in dieser primitiven Funktion, das bekommt man hin {Anzeigestil F_{r}={frac {GMm}{r^{2}}},} sagen, dass die Gravitationskraft die gleiche ist wie die einer Punktmasse im Zentrum der Schale mit der gleichen Masse.

Endlich, integrieren alle infinitesimal dünnen Kugelschalen mit Masse {Displaystil dM} , und wir können den gesamten Gravitationsbeitrag einer festen Kugel zu dem Objekt außerhalb der Kugel erhalten {Anzeigestil F_{gesamt}=int dF_{r}={frac {Gm}{r^{2}}}int dM.} Zwischen dem Radius von {Anzeigestil x} zu {Anzeigestil x+dx} , {Displaystil dM} kann als Funktion von ausgedrückt werden {Anzeigestil x} , d.h., {Anzeigestil dM={frac {4pi x^{2}dx}{{frac {4}{3}}pi R^{3}}}M={frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}} Deswegen, die Gesamtgravitation ist {Anzeigestil F_{Text{gesamt}}={frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}int _{0}^{R}x^{2},dx={frac {GMm}{r^{2}}}} was darauf hindeutet, dass die Schwerkraft einer festen kugelförmigen Kugel zu einem äußeren Objekt vereinfacht werden kann als die einer Punktmasse in der Mitte der Kugel mit derselben Masse.

Inside a shell For a point inside the shell, der Unterschied besteht darin, dass θ gleich Null ist, ϕ nimmt den Wert π Radiant und s den Wert R − r an. Wenn θ ab steigt 0 bis π Radiant, ϕ nimmt vom Anfangswert π Bogenmaß auf Null ab und s steigt vom Anfangswert R − r auf den Wert R an + r.

This can all be seen in the following figure Inserting these bounds into the primitive function {Anzeigestil s-{frac {r^{2}-R^{2}}{s}}} das bekommt man hin, in diesem Fall {Anzeigestil F_{r}=0,} sagen, dass die Netto-Gravitationskräfte, die auf die Punktmasse wirken, von den Massenelementen der Schale stammen, außerhalb der Messstelle, aufheben.

Verallgemeinerung: Wenn {Anzeigestil f={frac {k}{r^{p}}}} , die resultierende Kraft innerhalb der Schale ist: {Anzeigestil F(r)={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{R-r}^{R+r}links({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}Rechts),DS} Das obige führt zu {Anzeigestil F(r)} genau dann identisch Null sein {Anzeigestil p=2} Außerhalb der Schale (d.h. {displaystyle r>R} oder {Anzeigestil r<-R} ): {displaystyle F(r)={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{r-R}^{r+R}left({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}right),ds} Derivation using Gauss's law The shell theorem is an immediate consequence of Gauss's law for gravity saying that {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=-4pi GM} where M is the mass of the part of the spherically symmetric mass distribution that is inside the sphere with radius r and {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=int _{S}{mathbf {g} }cdot {hat {mathbf {n} }},dS} is the surface integral of the gravitational field g over any closed surface inside which the total mass is M, the unit vector {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} being the outward normal to the surface. The gravitational field of a spherically symmetric mass distribution like a mass point, a spherical shell or a homogeneous sphere must also be spherically symmetric. If {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} is a unit vector in the direction from the point of symmetry to another point the gravitational field at this other point must therefore be {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} where g(r) only depends on the distance r to the point of symmetry Selecting the closed surface as a sphere with radius r with center at the point of symmetry the outward normal to a point on the surface, {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} , is precisely the direction pointing away from the point of symmetry of the mass distribution. One, therefore, has that {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} and {displaystyle int _{S}mathbf {g} cdot ,d{mathbf {S} }=g(r)int _{S},dS=g(r)4pi r^{2}} as the area of the sphere is 4πr2. From Gauss's law it then follows that {displaystyle g(r)4pi r^{2}=-4pi GM,} or, {displaystyle g(r)=-{frac {GM}{r^{2}}}.} Converses and generalizations It is natural to ask whether the converse of the shell theorem is true, namely whether the result of the theorem implies the law of universal gravitation, or if there is some more general force law for which the theorem holds. More specifically, one may ask the question: Suppose there is a force {displaystyle F} between masses M and m, separated by a distance r of the form {displaystyle F=Mmf(r)} such that any spherically symmetric body affects external bodies as if its mass were concentrated at its center. Then what form can the function {displaystyle f} take? In fact, this allows exactly one more class of force than the (Newtonian) inverse square.[2][3] The most general force as derived by Vahe Gurzadyan in [2] (Gurzadyan theorem) is:" {displaystyle F=-{frac {GMm}{r^{2}}}-{frac {Lambda Mmr}{3}}} where {displaystyle G} and {displaystyle Lambda } can be constants taking any value. The first term is the familiar law of universal gravitation; the second is an additional force, analogous to the cosmological constant term in general relativity. If we further constrain the force by requiring that the second part of the theorem also holds, namely that there is no force inside a hollow ball, we exclude the possibility of the additional term, and the inverse square law is indeed the unique force law satisfying the theorem. On the other hand, if we relax the conditions, and require only that the field everywhere outside a spherically symmetric body is the same as the field from some point mass at the center (of any mass), we allow a new class of solutions given by the Yukawa potential, of which the inverse square law is a special case. Another generalization can be made for a disc by observing that {displaystyle dM={frac {R^{2}}{2}}{frac {dtheta ,sin ^{2}(theta )}{pi R^{2}}}M={frac {sin ^{2}(theta )}{2pi }}M,dtheta } so: {displaystyle F_{r}={frac {GMm}{2pi }}int {frac {sin ^{2}(theta )cos(varphi )}{s^{2}}},dtheta ,} where {displaystyle M=pi R^{2}rho } , and {displaystyle rho } is the density of the body. Doing all the intermediate calculations we get: {displaystyle F(r)={frac {Gmrho }{8r^{3}}}int _{R-r}^{R+r}{frac {left(r^{2}+s^{2}-R^{2}right){sqrt {2left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}},ds} Newton's proofs Introduction Propositions 70 and 71 consider the force acting on a particle from a hollow sphere with an infinitesimally thin surface, whose mass density is constant over the surface. The force on the particle from a small area of the surface of the sphere is proportional to the mass of the area and inversely as the square of its distance from the particle. The first proposition considers the case when the particle is inside the sphere, the second when it is outside. The use of infinitesimals and limiting processes in geometrical constructions are simple and elegant and avoid the need for any integrations. They well illustrate Newton's method of proving many of the propositions in the Principia. His proof of Propositions 70 is trivial. In the following, it is considered in slightly greater detail than Newton provides. The proof of Proposition 71 is more historically significant. It forms the first part of his proof that the gravitational force of a solid sphere acting on a particle outside it is inversely proportional to the square of its distance from the center of the sphere, provided the density at any point inside the sphere is a function only of its distance from the center of the sphere. Although the following are completely faithful to Newton's proofs, very minor changes have been made to attempt to make them clearer. Force on a point inside a hollow sphere Fig. 2 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S and an arbitrary point, P, inside the sphere. Through P draw two lines IL and HK such that the angle KPL is very small. JM is the line through P that bisects that angle. From the geometry of circles, the triangles IPH and KPL are similar. The lines KH and IL are rotated about the axis JM to form 2 cones that intersect the sphere in 2 closed curves. In Fig. 1 the sphere is seen from a distance along the line PE and is assumed transparent so both curves can be seen. The surface of the sphere that the cones intersect can be considered to be flat, and {displaystyle angle PJI=angle PMK} . Since the intersection of a cone with a plane is an ellipse, in this case the intersections form two ellipses with major axes IH and KL, where {displaystyle {frac {IH}{KL}}={frac {PJ}{PM}}} . By a similar argument, the minor axes are in the same ratio. This is clear if the sphere is viewed from above. Therefore the two ellipses are similar, so their areas are as the squares of their major axes. As the mass of any section of the surface is proportional to the area of that section, for the 2 elliptical areas the ratios of their masses {displaystyle propto {frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}} . Since the force of attraction on P in the direction JM from either of the elliptic areas, is direct as the mass of the area and inversely as the square of its distance from P, it is independent of the distance of P from the sphere. Hence, the forces on P from the 2 infinitesimal elliptical areas are equal and opposite and there is no net force in the direction JM. As the position of P and the direction of JM are both arbitrary, it follows that any particle inside a hollow sphere experiences no net force from the mass of the sphere. Note: Newton simply describes the arcs IH and KL as 'minimally small' and the areas traced out by the lines IL and HK can be any shape, not necessarily elliptic, but they will always be similar. Force on a point outside a hollow sphere Fig. 1 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S with an arbitrary point, P, outside the sphere. PT is the tangent to the circle at T which passes through P. HI is a small arc on the surface such that PH is less than PT. Extend PI to intersect the sphere at L and draw SF to the point F that bisects IL. Extend PH to intersect the sphere at K and draw SE to the point E that bisects HK, and extend SF to intersect HK at D. Drop a perpendicular IQ on to the line PS joining P to the center S. Let the radius of the sphere be a and the distance PS be D. Let arc IH be extended perpendicularly out of the plane of the diagram, by a small distance ζ. The area of the figure generated is {displaystyle IHcdot zeta } , and its mass is proportional to this product. The force due to this mass on the particle at P {displaystyle propto {frac {IHcdot zeta }{PI^{2}}}} and is along the line PI. The component of this force towards the center {displaystyle propto {frac {IHcdot PQcdot zeta }{PI^{3}}}} . If now the arc HI is rotated completely about the line PS to form a ring of width HI and radius IQ, the length of the ring is 2π·IQ and its area is 2π·IQ·IH. The component of the force due to this ring on the particle at P in the direction PS becomes {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}} . The perpendicular components of the force directed towards PS cancel out since the mass in the ring is distributed symmetrically about PS. Therefore, the component in the direction PS is the total force on P due to the ring formed by rotating arc HI about PS. From similar triangles: {displaystyle {frac {IQ}{PI}}={frac {FS}{D}}} ; {displaystyle {frac {PQ}{PI}}={frac {PF}{D}}} , and {displaystyle {frac {RI}{PI}}={frac {DF}{PF}}} . If HI is sufficiently small that it can be taken as a straight line, {displaystyle angle SIH} is a right angle, and {displaystyle angle RIH=angle FIS} , so that {displaystyle {frac {HI}{RI}}={frac {a}{IF}}} . Hence the force on P due to the ring {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}={frac {acdot DFcdot FScdot PF}{IFcdot PFcdot Dcdot D}}={frac {acdot DFcdot FS}{IFcdot D^{2}}}} . Assume now in Fig. 2 that another particle is outside the sphere at a point p, a different distance d from the center of the sphere, with corresponding points lettered in lower case. For easy comparison, the construction of P in Fig. 1 is also shown in Fig. 2. As before, ph is less than pt. Generate a ring with width ih and radius iq by making angle {displaystyle fiS=FIS} and the slightly larger angle {displaystyle dhS=DHS} , so that the distance PS is subtended by the same angle at I as is pS at i. The same holds for H and h, respectively. The total force on p due to this ring is {displaystyle propto {frac {ihcdot iqcdot pq}{pi^{3}}}={frac {acdot dfcdot fS}{ifcdot d^{2}}}} Clearly {displaystyle fS=FS} , {displaystyle if=IF} , and {displaystyle eS=ES} . Newton claims that DF and df can be taken as equal in the limit as the angles DPF and dpf 'vanish together'. Note that angles DPF and dpf are not equal. Although DS and dS become equal in the limit, this does not imply that the ratio of DF to df becomes equal to unity, when DF and df both approach zero. In the finite case DF depends on D, and df on d, so they are not equal. Since the ratio of DF to df in the limit is crucial, more detailed analysis is required. From the similar right triangles, {textstyle {frac {DF}{PF}}={frac {ED}{ES}}} and {displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}} , giving {displaystyle {frac {left(PF^{2}-ES^{2}right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} . Solving the quadratic for DF, in the limit as ES approaches FS, the smaller root, {displaystyle DF=ES-FS} . More simply, as DF approaches zero, in the limit the {displaystyle DF^{2}} term can be ignored: {displaystyle 2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} leading to the same result. Clearly df has the same limit, justifying Newton’s claim. Comparing the force from the ring HI rotated about PS to the ring hi about pS, the ratio of these 2 forces equals {textstyle {frac {d^{2}}{D^{2}}}} . By dividing up the arcs AT and Bt into corresponding infinitesimal rings, it follows that the ratio of the force due to the arc AT rotated about PS to that of Bt rotated about pS is in the same ratio, and similarly, the ratio of the forces due to arc TB to that of tA both rotated are in the same ratio. Therefore, the force on a particle any distance D from the center of the hollow sphere is inversely proportional to {displaystyle D^{2}} , which proves the proposition. Shell theorem in general relativity An analogue for shell theorem exists in general relativity (GR). Spherical symmetry implies that the metric has time-independent Schwarzschild geometry, even if a central mass is undergoing gravitational collapse (Misner et al. 1973; see Birkhoff's theorem). The metric thus has form {displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r),dt^{2}+(1-2M/r)^{-1},dr^{2}+r^{2},dOmega ^{2}} (using geometrized units, where {displaystyle G=c=1} ). For {displaystyle r>R>0} (wo {Anzeigestil R} ist der Radius einer Massenschale), Masse wirkt als Delta-Funktion am Ursprung. Zum {Anzeigestil r

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