Teorema de Serre-Cisne

Teorema de Serre-Cisne (Redirecionado de teorema de Swan) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Nos campos matemáticos de topologia e teoria K, o teorema de Serre-Swan, também chamado de teorema de Swan, relaciona a noção geométrica de fibrados vetoriais ao conceito algébrico de módulos projetivos e dá origem a uma intuição comum em toda a matemática: "módulos projetivos sobre anéis comutativos são como fibrados vetoriais em espaços compactos".

As duas formulações precisas dos teoremas diferem um pouco. O teorema original, como afirmou Jean-Pierre Serre em 1955, é mais algébrico por natureza, e diz respeito a fibrados vetoriais em uma variedade algébrica sobre um corpo algebricamente fechado (de qualquer característica). A variante complementar apresentada por Richard Swan em 1962 é mais analítico, e preocupações (real, complexo, ou quaterniônico) fibrados vetoriais em uma variedade suave ou espaço de Hausdorff.

Conteúdo 1 Geometria diferencial 2 Topologia 3 Geometria algébrica 4 References Differential geometry Suppose M is a smooth manifold (não necessariamente compacto), e E é um fibrado vetorial suave sobre M. Então Γ(E), o espaço de seções suaves de E, é um módulo sobre C∞(M) (a álgebra comutativa de funções suaves de valor real em M). O teorema de Swan afirma que este módulo é finitamente gerado e projetivo sobre C∞(M). Em outras palavras, todo fibrado vetorial é uma soma direta de algum fibrado trivial: {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{k}} para alguns k. O teorema pode ser provado construindo um epimorfismo de fibrado a partir de um fibrado trivial {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{k}dedo do pé.} Isso pode ser feito por, por exemplo, exibindo seções s1...sk com a propriedade de que para cada ponto p, {e(p)} estender a fibra sobre p.

Quando M está conectado, a recíproca também é verdadeira: cada módulo projetivo finitamente gerado sobre C∞(M) surge desta forma de algum fibrado vetorial suave em M. Tal módulo pode ser visto como uma função suave f em M com valores nas matrizes n × n idempotentes para alguns n. A fibra do fibrado vetorial correspondente sobre x é então a imagem de f(x). Se M não estiver conectado, a recíproca não vale a menos que se permita fibrados vetoriais de posto não constante (o que significa admitir variedades de dimensão não constante). Por exemplo, se M é uma variedade de 2 pontos de dimensão zero, o módulo {estilo de exibição mathbb {R} mais 0} é finitamente gerado e projetivo sobre {estilo de exibição C^{infty }(M)cong mathbb {R} vezes mathbb {R} } mas não é grátis, e, portanto, não pode corresponder às seções de qualquer (posto constante) pacote vetorial sobre M (tudo isso é trivial).

Outra maneira de afirmar o que foi dito acima é que para qualquer variedade suave conectada M, o funtor de seção Γ da categoria de fibrados vetoriais suaves sobre M para a categoria de finitamente gerados, projetivo C∞(M)-módulos está cheio, fiel, e essencialmente sobrejetora. Portanto, a categoria de fibrados vetoriais suaves em M é equivalente à categoria de fibrados finitamente gerados, projetivo C∞(M)-módulos. Os detalhes podem ser encontrados em (Nestruev 2003).

Topology Suppose X is a compact Hausdorff space, e C(X) é o anel de funções contínuas de valor real em X. Análogo ao resultado acima, a categoria de fibrados vetoriais reais em X é equivalente à categoria de módulos projetivos finitamente gerados em C(X). O mesmo resultado vale se substituirmos "valor real" por "valor complexo" e "pacote vetorial real" por "pacote vetorial complexo", mas não vale se substituirmos o corpo por um corpo totalmente desconectado como os números racionais.

Em detalhe, Assunto do voo(X) ser a categoria de fibrados vetoriais complexos sobre X, e deixe o ProjMod(C(X)) ser a categoria de módulos projetivos finitamente gerados sobre o C*-álgebra C(X). There is a functor Γ : Vec(X) → ProjMod(C(X)) que envia cada fibrado vetorial complexo E sobre X para o C(X)-módulo C(X, E) de seções. Se {estilo de exibição tau :(E_{1},pi_{1})para (E_{2},pi_{2})} é um morfismo de fibrados vetoriais sobre X então {estilo de exibição pi _{2}circ tau = pi _{1}} e segue que {estilo de exibição para todo o seu Gamma (X,E_{1})quad pi _{2}circ tau circ s=pi _{1}círculo s={texto{Eu iria}}_{X},} dando o mapa {estilo de exibição {começar{casos}Gama tau :Gama (X,E_{1})para Gama (X,E_{2})\smapsto tau circ enviar{casos}}} que respeita a estrutura do módulo (Várilly, 97). O teorema de Swan afirma que o functor Γ é uma equivalência de categorias.

Algebraic geometry The analogous result in algebraic geometry, devido a Serre (1955, §50) aplica-se a feixes vetoriais na categoria de variedades afins. Seja X uma variedade afim com feixe de estrutura {estilo de exibição {matemática {O}}_{X},} e {estilo de exibição {matemática {F}}} um feixe coerente de {estilo de exibição {matemática {O}}_{X}} -módulos em X. Então {estilo de exibição {matemática {F}}} é o feixe de germes de um fibrado vetorial de dimensão finita se e somente se {displaystyle Gama ({matemática {F}},X),} o espaço das seções de {estilo de exibição {matemática {F}},} é um módulo projetivo sobre o anel comutativo {estilo de exibição A = Gama ({matemática {O}}_{X},X).} Referências Karoubi, Máx. (1978), Teoria K: Uma introdução, Noções básicas de ciências matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1 Manoharan, Palanível (1995), "Teorema de Swan Generalizado e sua Aplicação", Anais da American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, doi:10.2307/2160685, JSTOR 2160685, MR 1264823. Apertado, Jean Pierre (1955), "Feixes algébricos coerentes", Anais da Matemática, 61 (2): 197-278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874. Cisne, Ricardo G. (1962), "Pacotes de vetores e módulos projetivos", Transações da American Mathematical Society, 105 (2): 264-277, doi:10.2307/1993627, JSTOR 1993627. Nestruev, Jato (2003), Variedades suaves e observáveis, Textos de graduação em matemática, volume. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7 Giachetta, G.; Mangiarotti, EU.; Sardanashvily, Gennady (2005), Métodos Topológicos Geométricos e Algébricos em Mecânica Quântica, Mundial Científico, ISBN 981-256-129-3.

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Categorias: Álgebra comutativaTeoremas em topologia algébricaTopologia diferencialK-theory