Teorema di Serre-Swan

Teorema di Serre-Swan (Reindirizzato da Teorema di Swan) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Nei campi matematici della topologia e della teoria K, il teorema di Serre-Swan, chiamato anche teorema di Swan, mette in relazione la nozione geometrica di bundle vettoriali con il concetto algebrico di moduli proiettivi e dà origine a un'intuizione comune a tutta la matematica: "i moduli proiettivi su anelli commutativi sono come fasci vettoriali su spazi compatti".

Le due precise formulazioni dei teoremi differiscono alquanto. Il teorema originale, come affermato da Jean-Pierre Serre in 1955, è di natura più algebrica, e riguarda bundle vettoriali su una varietà algebrica su un campo algebricamente chiuso (di qualsiasi caratteristica). La variante complementare dichiarata da Richard Swan in 1962 è più analitico, e preoccupazioni (vero, complesso, o quaternionico) fasci vettoriali su una varietà liscia o spazio di Hausdorff.

Contenuti 1 Geometria differenziale 2 Topologia 3 Geometria algebrica 4 References Differential geometry Suppose M is a smooth manifold (non necessariamente compatto), ed E è un fascio di vettori lisci su M. Allora Γ(e), lo spazio delle sezioni lisce di E, è un modulo su C∞(M) (l'algebra commutativa di funzioni lisce a valori reali su M). Il teorema di Swan afferma che questo modulo è finito e proiettivo su C∞(M). In altre parole, ogni bundle vettoriale è una somma diretta di qualche bundle banale: {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{K}} per alcuni k. Il teorema può essere dimostrato costruendo un epimorfismo di fascio da un fascio banale {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{K}dito del piede.} Questo può essere fatto, per esempio, sezioni espositive s1...sk con la proprietà che per ogni punto p, {e(p)} span la fibra su p.

Quando M è connesso, vale anche il contrario: ogni modulo proiettivo finitamente generato su C∞(M) nasce in questo modo da un fascio di vettori lisci su M. Tale modulo può essere visto come una funzione liscia f su M con valori nelle matrici n × n idempotenti per alcuni n. La fibra del corrispondente fascio vettoriale su x è quindi l'intervallo di f(X). Se M non è connesso, il contrario non vale a meno che non si consentano fasci vettoriali di rango non costante (il che significa ammettere varietà di dimensione non costante). Per esempio, se M è una varietà a 2 punti a dimensione zero, il modulo {displaystyle mathbb {R} oplus 0} è finitamente generata e proiettiva {stile di visualizzazione C^{infty }(M)cong mathbb {R} volte mathbb {R} } ma non è gratuito, e quindi non può corrispondere alle sezioni di alcuno (rango costante) fascio vettoriale su M (tutte cose banali).

Un altro modo per affermare quanto sopra è che per qualsiasi collettore liscio collegato M, il funtore di sezione Γ dalla categoria dei fasci vettoriali lisci su M alla categoria del finitomente generato, proiettivo C∞(M)-i moduli sono pieni, fedele, ed essenzialmente suriettiva. Pertanto la categoria dei fasci vettoriali lisci su M è equivalente alla categoria dei finiti generati, proiettivo C∞(M)-moduli. I dettagli possono essere trovati in (Nestruev 2003).

Topology Suppose X is a compact Hausdorff space, e C(X) è l'anello di funzioni continue a valori reali su X. Analogo al risultato sopra, la categoria dei panieri vettoriali reali su X è equivalente alla categoria dei moduli proiettivi finitamente generati su C(X). Lo stesso risultato vale se si sostituisce "di valore reale" di "di valore complesso" e "pacchetto di vettori reali" di "fascio di vettori complessi", ma non vale se si sostituisce il campo con un campo totalmente disconnesso come i numeri razionali.

In dettaglio, Soggetto di volo(X) essere la categoria dei bundle vettoriali complessi su X, e lascia che ProjMod(C(X)) essere la categoria dei moduli proiettivi finitamente generati sulla C*-algebra C(X). There is a functor Γ : Vec(X) → ProjMod(C(X)) che invia ogni fascio di vettori complessi E su X al C(X)-modulo C(X, e) di sezioni. Se {displaystyle tau :(E_{1},pi_{1})a (E_{2},pi_{2})} è un morfismo di fasci vettoriali su X allora {stile di visualizzazione pi _{2}circo tau = pi _{1}} e ne consegue {displaystyle per tutta la sua gamma (X,E_{1})quad pi _{2}circ tau circ s=pi _{1}circo s={testo{id}}_{X},} dando la mappa {stile di visualizzazione {inizio{casi}gamma tau :Gamma (X,E_{1})a Gamma (X,E_{2})\smapsto tau circ invia{casi}}} che rispetta la struttura del modulo (Varilly, 97). Il teorema di Swan afferma che il funtore Γ è un'equivalenza di categorie.

Algebraic geometry The analogous result in algebraic geometry, a causa di Serre (1955, §50) si applica ai bundle vettoriali nella categoria delle varietà affini. Sia X una varietà affine con covone di struttura {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{X},} e {stile di visualizzazione {matematico {F}}} un covone coerente di {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{X}} -moduli su X. Quindi {stile di visualizzazione {matematico {F}}} è il fascio di germi di un fascio vettoriale a dimensione finita se e solo se {stile di visualizzazione Gamma ({matematico {F}},X),} lo spazio delle sezioni di {stile di visualizzazione {matematico {F}},} è un modulo proiettivo sull'anello commutativo {stile di visualizzazione A=Gamma ({matematico {o}}_{X},X).} Riferimenti Karoubi, Massimo (1978), K-teoria: Un introduzione, Fondamenti di scienze matematiche, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1 Manoharan, Palanivel (1995), "Teorema di Swan generalizzato e sua applicazione", Atti dell'American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, doi:10.2307/2160685, JSTOR 2160685, SIG 1264823. Stretto, JeanPierre (1955), "Pacchetti algebrici coerenti", Annali di matematica, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, SIG 0068874. cigno, Riccardo G. (1962), "Pacchetti vettoriali e moduli proiettivi", Transazioni dell'American Mathematical Society, 105 (2): 264–277, doi:10.2307/1993627, JSTOR 1993627. Nestruev, Jet (2003), Varietà lisce e osservabili, Testi di laurea in matematica, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7 Giachetta, G.; Mangiarotti, l.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Metodi topologici geometrici e algebrici in meccanica quantistica, Scientifico mondiale, ISBN 981-256-129-3.

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