Théorème de Serre-Swan

Théorème de Serre-Swan (Redirigé à partir du théorème de Swan) Aller à la navigation Aller à la recherche Dans les domaines mathématiques de la topologie et de la K-théorie, le théorème de Serre-Swan, aussi appelé théorème de Swan, relie la notion géométrique de fibrés vectoriels au concept algébrique de modules projectifs et donne lieu à une intuition commune à travers les mathématiques: "les modules projectifs sur des anneaux commutatifs sont comme des fibrés vectoriels sur des espaces compacts".

Les deux formulations précises des théorèmes diffèrent quelque peu. Le théorème d'origine, comme l'affirme Jean-Pierre Serre dans 1955, est de nature plus algébrique, et concerne les fibrés vectoriels sur une variété algébrique sur un corps algébriquement clos (de toute caractéristique). La variante complémentaire énoncée par Richard Swan dans 1962 est plus analytique, et préoccupations (réel, complexe, ou quaternionique) fibrés vectoriels sur une variété lisse ou un espace de Hausdorff.

Contenu 1 Géométrie différentielle 2 Topologie 3 Géométrie algébrique 4 References Differential geometry Suppose M is a smooth manifold (pas forcément compact), et E est un fibré vectoriel lisse sur M. Alors Γ(E), l'espace des sections lisses de E, est un module sur C∞(M) (l'algèbre commutative des fonctions lisses à valeurs réelles sur M). Le théorème de Swan énonce que ce module est de type fini et projectif sur C∞(M). Autrement dit, chaque paquet vectoriel est un résumé direct d'un paquet trivial: {style d'affichage Mtimes mathbb {R} ^{k}} pour certains k. Le théorème peut être prouvé en construisant un épimorphisme de faisceau à partir d'un faisceau trivial {style d'affichage Mtimes mathbb {R} ^{k}doigt de pied.} Cela peut être fait par, par exemple, présentant des sections s1...sk avec la propriété que pour chaque point p, {et(p)} étendre la fibre sur p.

Lorsque M est connecté, l'inverse est aussi vrai: tout module projectif de type fini sur C∞(M) provient ainsi d'un fibré vectoriel lisse sur M. Un tel module peut être vu comme une fonction lisse f sur M avec des valeurs dans les matrices idempotentes n × n pour certains n. La fibre du faisceau vectoriel correspondant sur x est alors la plage de f(X). Si M n'est pas connecté, l'inverse n'est pas vrai à moins que l'on autorise des faisceaux vectoriels de rang non constant (ce qui revient à admettre des variétés de dimension non constante). Par exemple, si M est une variété à 2 points de dimension zéro, le module {style d'affichage mathbb {R} plus 0} est de type fini et projectif sur {displaystyle C^{infime }(M)cong mathbb {R} fois mathbb {R} } mais n'est pas gratuit, et ne peut donc correspondre aux sections d'aucun (rang constant) paquet vectoriel sur M (tout cela est banal).

Une autre façon d'énoncer ce qui précède est que pour toute variété lisse connectée M, le foncteur de section Γ de la catégorie des fibrés vectoriels lisses sur M à la catégorie des types finis, projectif C∞(M)-les modules sont pleins, fidèle, et essentiellement surjectif. Donc la catégorie des fibrés vectoriels lisses sur M est équivalente à la catégorie des fibrés de type fini, projectif C∞(M)-modules. Les détails peuvent être trouvés dans (Nestruev 2003).

Topology Suppose X is a compact Hausdorff space, et C(X) est l'anneau des fonctions continues à valeurs réelles sur X. Analogue au résultat ci-dessus, la catégorie des fibrés vectoriels réels sur X est équivalente à la catégorie des modules projectifs de type fini sur C(X). Le même résultat est valable si l'on remplace "valeur réelle" par "à valeur complexe" et "ensemble de vecteurs réels" par "ensemble de vecteurs complexes", mais ça ne tient pas si on remplace le champ par un champ totalement déconnecté comme les nombres rationnels.

En détail, sujet du vol(X) être la catégorie des fibrés vectoriels complexes sur X, et laissez ProjMod(C(X)) Soit la catégorie des modules projectifs de type fini sur la C*-algèbre C(X). There is a functor Γ : Vec(X) → ProjMod(C(X)) qui envoie chaque faisceau de vecteurs complexes E sur X au C(X)-modulesC(X, E) de rubriques. Si {style d'affichage tau :(E_{1},pi _{1})à (E_{2},pi _{2})} est un morphisme de fibrés vectoriels sur X alors {style d'affichage pi _{2}circ tau = pi _{1}} et il s'ensuit que {style d'affichage pour tout son Gamma (X,E_{1})quadruple pi _{2}circ tau circ s=pi _{1}circ s={texte{identifiant}}_{X},} donner la carte {style d'affichage {commencer{cas}Tau gamma :Gamma (X,E_{1})à Gamma (X,E_{2})\smapsto tau circ envoyer{cas}}} qui respecte la structure du module (Várilly, 97). Le théorème de Swan affirme que le foncteur Γ est une équivalence de catégories.

Algebraic geometry The analogous result in algebraic geometry, à cause de Serre (1955, §50) s'applique aux faisceaux de vecteurs dans la catégorie des variétés affines. Soit X une variété affine de faisceau de structure {style d'affichage {mathématique {O}}_{X},} et {style d'affichage {mathématique {F}}} un faisceau cohérent de {style d'affichage {mathématique {O}}_{X}} -module sur X. Alors {style d'affichage {mathématique {F}}} est le faisceau de germes d'un fibré vectoriel de dimension finie si et seulement si {style d'affichage Gamma ({mathématique {F}},X),} l'espace des sections de {style d'affichage {mathématique {F}},} est un module projectif sur l'anneau commutatif {style d'affichage A=Gamma ({mathématique {O}}_{X},X).} Références Karoubi, Max (1978), K-théorie: Une introduction, Bases des sciences mathématiques, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1 Manoharan, Palanivel (1995), "Théorème de Swan généralisé et son application", Actes de l'American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, est ce que je:10.2307/2160685, JSTOR 2160685, M 1264823. Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annales de Mathématiques, 61 (2): 197–278, est ce que je:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, M 0068874. Cygne, Richard G.. (1962), "Ensembles vectoriels et modules projectifs", Transactions de l'American Mathematical Society, 105 (2): 264–277, est ce que je:10.2307/1993627, JSTOR 1993627. Nestruev, Jet (2003), Variétés lisses et observables, Textes de fin d'études en mathématiques, volume. 220, Springer Verlag, ISBN 0-387-95543-7 Giachetta, G.; Mangiarotti, L; Sardanashvily, Gennady (2005), Méthodes topologiques géométriques et algébriques en mécanique quantique, Scientifique mondial, ISBN 981-256-129-3.

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