Satz von Serre-Swan

Satz von Serre-Swan (Umgeleitet von Swans Theorem) Zur Navigation springen Zur Suche springen Auf den mathematischen Gebieten der Topologie und K-Theorie, das Serre-Swan-Theorem, auch Schwanensatz genannt, verbindet den geometrischen Begriff der Vektorbündel mit dem algebraischen Konzept der projektiven Module und führt zu einer gemeinsamen Intuition in der gesamten Mathematik: "Projektive Module über kommutativen Ringen sind wie Vektorbündel auf kompakten Räumen".

Die beiden genauen Formulierungen der Theoreme unterscheiden sich etwas. Das ursprüngliche Theorem, wie von Jean-Pierre Serre in angegeben 1955, ist eher algebraischer Natur, und betrifft Vektorbündel auf einer algebraischen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper (irgendeiner Eigenschaft). Die komplementäre Variante von Richard Swan in 1962 ist analytischer, und Bedenken (real, Komplex, oder quaternionisch) Vektorbündel auf einer glatten Mannigfaltigkeit oder einem Hausdorff-Raum.

Inhalt 1 Differentialgeometrie 2 Topologie 3 Algebraische Geometrie 4 References Differential geometry Suppose M is a smooth manifold (nicht unbedingt kompakt), und E ein glattes Vektorbündel über M ist. Dann Γ(E), der Raum der glatten Abschnitte von E, ist ein Modul über C∞(M) (die kommutative Algebra glatter reellwertiger Funktionen auf M). Der Satz von Swan besagt, dass dieser Modul endlich erzeugt und projektiv über C∞ ist(M). Mit anderen Worten, Jedes Vektorbündel ist ein direkter Summand eines trivialen Bündels: {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{k}} für einige k. Der Satz kann bewiesen werden, indem aus einem trivialen Bündel ein Bündelepimorphismus konstruiert wird {displaystyle Mtimes mathbb {R} ^{k}zu E.} Dies kann durch erfolgen, zum Beispiel, die Abschnitte s1...sk aufweisen mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p, {und(p)} Spanne die Faser über p.

Wenn M verbunden ist, die Umkehrung ist auch wahr: jeder endlich erzeugte projektive Modul über C∞(M) entsteht auf diese Weise aus einem glatten Vektorbündel auf M. Ein solcher Modul kann als glatte Funktion f auf M mit Werten in den n × n idempotenten Matrizen für einige n angesehen werden. Die Faser des entsprechenden Vektorbündels über x ist dann der Bereich von f(x). Wenn M nicht verbunden ist, die Umkehrung gilt nicht, es sei denn, man lässt Vektorbündel mit nicht konstantem Rang zu (was bedeutet, Mannigfaltigkeiten mit nicht konstanter Dimension zuzulassen). Zum Beispiel, wenn M eine nulldimensionale 2-Punkt-Mannigfaltigkeit ist, das Modul {Anzeigestil mathbb {R} opus 0} ist endlich erzeugt und projektiv vorbei {Anzeigestil C^{unendlich }(M)cong mathbb {R} mal mathbb {R} } ist aber nicht kostenlos, und kann daher nicht den Abschnitten von irgendetwas entsprechen (konstanter Rang) Vektorbündel über M (alles trivial).

Eine andere Möglichkeit, das Obige auszudrücken, ist die für jeden verbundenen glatten Verteiler M, den Abschnittsfunktor Γ von der Kategorie der glatten Vektorbündel über M in die Kategorie der endlich Erzeugten, projektives C∞(M)-Module ist voll, treu, und im Wesentlichen surjektiv. Daher ist die Kategorie der glatten Vektorbündel auf M äquivalent zur Kategorie der endlich Erzeugten, projektives C∞(M)-Module. Einzelheiten finden sich in (Nestruev 2003).

Topology Suppose X is a compact Hausdorff space, und C(X) ist der Ring stetiger reellwertiger Funktionen auf X. Analog zu obigem Ergebnis, die Kategorie der reellen Vektorbündel auf X ist äquivalent zur Kategorie der endlich erzeugten projektiven Moduln über C(X). Das gleiche Ergebnis gilt, wenn man ersetzt "reell bewertet" durch "komplex bewertet" und "echtes Vektorbündel" durch "komplexes Vektorbündel", aber es gilt nicht, wenn man den Körper durch einen völlig unzusammenhängenden Körper wie die rationalen Zahlen ersetzt.

Im Detail, Flug Thema(X) sei die Kategorie der komplexen Vektorbündel über X, und lassen Sie ProjMod(C(X)) sei die Kategorie der endlich erzeugten projektiven Moduln über der C*-Algebra C(X). There is a functor Γ : Vek(X) → ProjMod(C(X)) die jedes komplexe Vektorbündel E über X zum C sendet(X)-Modul C(X, E) von Abschnitten. Wenn {Anzeigestil tau :(E_{1},Pi _{1})zu (E_{2},Pi _{2})} ist dann ein Morphismus von Vektorbündeln über X {Anzeigestil pi _{2}kreis tau = pi _{1}} und daraus folgt {Anzeigestil für alle seine Gamma (X,E_{1})Quad-Pi _{2}kreis tau kreis s=pi _{1}Kreis s={Text{Ich würde}}_{X},} Karte geben {Anzeigestil {Start{Fälle}Gamma-Tau :Gamma (X,E_{1})zu Gamma (X,E_{2})\smapsto tau circ senden{Fälle}}} die die Modulstruktur respektiert (Várilly, 97). Der Satz von Swan behauptet, dass der Funktor Γ eine Äquivalenz von Kategorien ist.

Algebraic geometry The analogous result in algebraic geometry, wegen Serre (1955, §50) gilt für Vektorbündel in der Kategorie der affinen Sorten. Sei X eine affine Varietät mit Struktur Garbe {Anzeigestil {mathematisch {Ö}}_{X},} und {Anzeigestil {mathematisch {F}}} eine zusammenhängende Garbe von {Anzeigestil {mathematisch {Ö}}_{X}} -Module auf X. Dann {Anzeigestil {mathematisch {F}}} ist die Keimgarbe eines endlichdimensionalen Vektorbündels genau dann, wenn {Anzeigestil Gamma ({mathematisch {F}},X),} der Raum der Abschnitte von {Anzeigestil {mathematisch {F}},} ist ein projektiver Modul über dem kommutativen Ring {Anzeigestil A=Gamma ({mathematisch {Ö}}_{X},X).} Referenzen Karoubi, max (1978), K-Theorie: Eine Einleitung, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1 Manoharan, Palanivel (1995), "Verallgemeinerter Schwanensatz und seine Anwendung", Verfahren der American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, doi:10.2307/2160685, JSTOR 2160685, HERR 1264823. Fest, Jean Pierre (1955), "Kohärente algebraische Bündel", Annalen der Mathematik, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, HERR 0068874. Schwan, Richard G. (1962), "Vektorbündel und projektive Module", Transaktionen der American Mathematical Society, 105 (2): 264–277, doi:10.2307/1993627, JSTOR 1993627. Nestruev, Jet (2003), Glatte Mannigfaltigkeiten und Observables, Abschlusstexte in Mathematik, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7 Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennady (2005), Geometrische und algebraische topologische Methoden in der Quantenmechanik, Weltwissenschaftlich, ISBN 981-256-129-3.

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