Teorema de Schwarz–Ahlfors–Pick

Teorema de Schwarz–Ahlfors–Pick Em matemática, o teorema de Schwarz–Ahlfors–Pick é uma extensão do lema de Schwarz para geometria hiperbólica, como o modelo de semiplano de Poincaré.

O lema de Schwarz-Pick afirma que toda função holomórfica do disco unitário U para si, ou do semiplano superior H para si mesmo, não aumentará a distância de Poincaré entre os pontos. O disco unitário U com a métrica de Poincaré tem curvatura gaussiana negativa −1. Dentro 1938, Lars Ahlfors generalizou o lema para mapas do disco unitário para outras superfícies curvadas negativamente: Teorema (Schwarz–Ahlfors–Pick). Seja U o disco unitário com métrica de Poincaré {estilo de exibição rho } ; seja S uma superfície de Riemann dotada de uma métrica Hermitiana {estilo de exibição sigma } whose Gaussian curvature is ≤ −1; deixar {estilo de exibição f:Urightarrow S} ser uma função holomorfa. Então {estilo de exibição sigma (f(z_{1}),f(z_{2}))leq rho (z_{1},z_{2})} para todos {estilo de exibição z_{1},z_{2}em U.} Uma generalização deste teorema foi provada por Shing-Tung Yau em 1973.[1] Referências ^ Osserman, Roberto (Setembro 1999). "De Schwarz a Pick a Ahlfors e além" (PDF). Avisos da AMS. 46 (8): 868-873. Categorias: Geometria hiperbólicaSuperfícies de RiemannTeoremas em análise complexaTeoremas em geometria diferencial