Teoremas de Schröder-Bernstein para álgebras de operadores

Teoremas de Schröder–Bernstein para álgebras de operadores O teorema de Schröder–Bernstein da teoria dos conjuntos tem análogos no contexto de álgebras de operadores. Este artigo discute tais resultados operador-algébricos.

Conteúdo 1 Para álgebras de von Neumann 2 Representações de C*-álgebras 3 Veja também 4 Referências para álgebras de von Neumann Suponha que M é uma álgebra de von Neumann e E, F são projeções em M. Seja ~ denotar a relação de equivalência Murray-von Neumann em M. Define a partial order « on the family of projections by E « F if E ~ F' ≤ F. Em outras palavras, E « F if there exists a partial isometry U ∈ M such that U*U = E and UU* ≤ F.

Para subespaços fechados M e N onde as projeções PM e PN, em M e N respectivamente, são elementos de M, M « N if PM « PN.

The Schröder–Bernstein theorem states that if M « N and N « M, então M ~ N.

Uma prova, um que é semelhante a um argumento da teoria dos conjuntos, pode ser esboçado da seguinte forma. Coloquialmente, N « M means that N can be isometrically embedded in M. Então {estilo de exibição M=M_{0}substituir N_{0}} onde N0 é uma cópia isométrica de N em M. Por suposição, também é verdade que, N, portanto N0, contém uma cópia isométrica M1 de M. Portanto, pode-se escrever {estilo de exibição M=M_{0}substituir N_{0}substituir M_{1}.} Por indução, {estilo de exibição M=M_{0}substituir N_{0}substituir M_{1}substituir N_{1}substituir M_{2}substituir N_{2}substituir cdots .} É claro que {estilo de exibição R=cap _{igeq 0}M_{eu}=cap _{igeq 0}N_{eu}.} Deixar {estilo de exibição Mominus N{pilha {matemática {def} }{=}}mcap (N)^{criminoso }.} Então {estilo de exibição M=oplus _{igeq 0}(M_{eu}Ominoso N_{eu})quad oplus quad oplus _{ele ri 0}(N_{j}sinistro M_{j+1})quad oplus R} e {estilo de exibição N_{0}= mais _{igeq 1}(M_{eu}Ominoso N_{eu})quad oplus quad oplus _{ele ri 0}(N_{j}sinistro M_{j+1})quad oplus R.} Perceber {estilo de exibição M_{eu}Ominoso N_{eu}Eu sou Mominus Nquad {mbox{para todos}}quadra i.} O teorema agora segue da aditividade contável de ~.

Representations of C*-algebras There is also an analog of Schröder–Bernstein for representations of C*-algebras. Se A é uma C*-álgebra, uma representação de A é um *-homomorfismo φ de A em L(H), os operadores limitados em algum espaço de Hilbert H.

Se existe uma projeção P em L(H) onde P φ(uma) = f(uma) P para todo a em A, então uma subrepresentação σ de φ pode ser definida de forma natural: p(uma) é φ(uma) restrito ao intervalo de P. Então φ pode ser expresso como uma soma direta de duas subrepresentações φ = φ' ⊕ σ.

Duas representações φ1 e φ2, em H1 e H2 respectivamente, dizem-se unitariamente equivalentes se existir um operador unitário U: H2 → H1 tal que φ1(uma)U = Uφ2(uma), para cada um.

Nesta configuração, o teorema de Schröder-Bernstein lê: Se duas representações ρ e σ, nos espaços de Hilbert H e G respectivamente, são unitariamente equivalentes a uma sub-representação do outro, então eles são unitariamente equivalentes.

Uma prova que se assemelha ao argumento anterior pode ser esboçada. A suposição implica que existem isometrias parciais sobrejetivas de H para G e de G para H. Corrija duas dessas isometrias parciais para o argumento. Um tem {estilo de exibição rho = rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}quadrilátero {mbox{Onde}}quad sigma _{1}simeq sigma .} Por sua vez, {estilo de exibição rho _{1}simeq rho _{1}'mais (sigma_{1}'oplus rho _{2})quadrilátero {mbox{Onde}}quad rho _{2}simeq rho .} Por indução, {estilo de exibição rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (mais _{igeq 1}rho _{eu}')mais (mais _{igeq 1}sigma_{eu}'),} e {estilo de exibição sigma _{1}simeq sigma_{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (mais _{igeq 2}rho _{eu}')mais (mais _{igeq 1}sigma_{eu}').} Agora cada soma adicional na expressão de soma direta é obtida usando uma das duas isometrias parciais fixas, assim {estilo de exibição rho _{eu}'simeq rho _{j}'quadrado {mbox{e}}quad sigma _{eu}'simeq sigma _{j}'quadrado {mbox{para todos}}quadra i,j;.} Isso prova o teorema.

Veja também o teorema de Schröder–Bernstein para espaços mensuráveis ​​Propriedade de Schröder–Bernstein Referências B. Blackadar, Operador Álgebras, Springer, 2006. Categorias: Álgebras de Von Neumann C* álgebras