Teoremi di Schröder–Bernstein per algebre degli operatori

Teoremi di Schröder–Bernstein per le algebre degli operatori Il teorema di Schröder–Bernstein della teoria degli insiemi ha analoghi nelle algebre degli operatori di contesto. Questo articolo discute tali risultati algebrici degli operatori.

Contenuti 1 Per le algebre di von Neumann 2 Rappresentazioni di C*-algebre 3 Guarda anche 4 Riferimenti Per le algebre di von Neumann Supponiamo che M sia un'algebra di von Neumann ed E, F sono proiezioni in M. Indichiamo con ~ la relazione di equivalenza di Murray-von Neumann su M. Define a partial order « on the family of projections by E « F if E ~ F' ≤ F. In altre parole, E « F if there exists a partial isometry U ∈ M such that U*U = E and UU* ≤ F.

Per sottospazi chiusi M e N dove le proiezioni PM e PN, rispettivamente su M e N, sono elementi di M, M « N if PM « PN.

The Schröder–Bernstein theorem states that if M « N and N « M, poi M ~ N.

Una prova, uno che è simile a un argomento di teoria degli insiemi, può essere abbozzato come segue. Colloquiale, N « M means that N can be isometrically embedded in M. Così {stile di visualizzazione M=M_{0}supposto N_{0}} dove N0 è una copia isometrica di N in M. Per ipotesi, è vero anche quello, N, quindi N0, contiene una copia isometrica M1 di M. Perciò, si può scrivere {stile di visualizzazione M=M_{0}supposto N_{0}supposta M_{1}.} Per induzione, {stile di visualizzazione M=M_{0}supposto N_{0}supposta M_{1}supposto N_{1}supposta M_{2}supposto N_{2}sopprimere i cdot .} È chiaro che {stile di visualizzazione R=cap _{igeq 0}M_{io}=cappuccio _{igeq 0}N_{io}.} Permettere {displaystyle Mominus N{pila {matematica {def} }{=}}mcap (N)^{perp }.} Così {displaystyle M=oplus _{igeq 0}(M_{io}minaccioso N_{io})quad oplus quad oplus _{lui ride 0}(N_{j}inquietante M_{j+1})quad oplus R} e {stile di visualizzazione N_{0}=più _{igeq 1}(M_{io}minaccioso N_{io})quad oplus quad oplus _{lui ride 0}(N_{j}inquietante M_{j+1})quad oplus R.} Avviso {stile di visualizzazione M_{io}minaccioso N_{io}Sono Mominus Nquad {mbox{per tutti}}quadruplo i.} Il teorema segue ora dall'additività numerabile di ~.

Representations of C*-algebras There is also an analog of Schröder–Bernstein for representations of C*-algebras. Se A è una C*-algebra, una rappresentazione di A è un *-omomorfismo φ da A a L(H), gli operatori limitati su uno spazio di Hilbert H.

Se esiste una proiezione P in L(H) dove Pφ(un) = f(un) P per ogni a in A, allora una sottorappresentazione σ di φ può essere definita in modo naturale: p(un) è φ(un) limitato alla gamma di P. Quindi φ allora può essere espresso come somma diretta di due sottorappresentazioni φ = φ' ⊕ σ.

Due rappresentazioni φ1 e φ2, rispettivamente su H1 e H2, si dicono unitariamente equivalenti se esiste un operatore unitario U: H2 → H1 tale che φ1(un)U = Uφ2(un), per ogni a.

In questa impostazione, si legge il teorema di Schröder-Bernstein: Se due rappresentazioni ρ e σ, rispettivamente sugli spazi di Hilbert H e G, sono ciascuno unitariamente equivalente a una sottorappresentazione dell'altro, allora sono unitariamente equivalenti.

Si può delineare una dimostrazione che ricorda l'argomento precedente. L'assunzione implica che esistano isometrie parziali suriettive da H a G e da G a H. Correggi due di queste isometrie parziali per l'argomento. Uno ha {displaystyle rho =rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}quad {mbox{dove}}quad sigma _{1}simeq sigma .} A sua volta, {displaystyle rho _{1}simeq rho _{1}'più (sigma _{1}'oplus rho _{2})quad {mbox{dove}}quad rho _{2}simeq rho .} Per induzione, {displaystyle rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (oplus _{igeq 1}ro _{io}')oplus (oplus _{igeq 1}sigma _{io}'),} e {displaystyle sigma _{1}simeq sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (oplus _{igeq 2}ro _{io}')oplus (oplus _{igeq 1}sigma _{io}').} Ora ogni somma aggiuntiva nell'espressione della somma diretta viene ottenuta utilizzando una delle due isometrie parziali fisse, Così {displaystyle rho _{io}'simeq rho _{j}'quadretto {mbox{e}}quad sigma _{io}'simeq sigma _{j}'quadretto {mbox{per tutti}}quadruplo i,j;.} Questo dimostra il teorema.

Vedi anche teorema di Schröder–Bernstein per spazi misurabili Proprietà di Schröder–Bernstein Riferimenti B. Blackadar, Algebre degli operatori, Springer, 2006. Categorie: Algebre di von NeumannC* algebre