Théorèmes de Schröder – Bernstein pour les algèbres d'opérateurs

Théorèmes de Schröder – Bernstein pour les algèbres d'opérateurs Le théorème de Schröder – Bernstein de la théorie des ensembles a des analogues dans le contexte des algèbres d'opérateurs. Cet article traite de tels résultats opérateur-algébriques.

Contenu 1 Pour les algèbres de von Neumann 2 Représentations des C*-algèbres 3 Voir également 4 Références Pour les algèbres de von Neumann Supposons que M soit une algèbre de von Neumann et que E, F sont des projections en M. Soit ~ la relation d'équivalence de Murray-von Neumann sur M. Define a partial order « on the family of projections by E « F if E ~ F' ≤ F. Autrement dit, E « F if there exists a partial isometry U ∈ M such that U*U = E and UU* ≤ F.

Pour les sous-espaces fermés M et N où les projections PM et PN, sur M et N respectivement, sont des éléments de M, M « N if PM « PN.

The Schröder–Bernstein theorem states that if M « N and N « M, alors M ~ N.

Une preuve, celui qui est similaire à un argument de la théorie des ensembles, peut être esquissé comme suit. Familièrement, N « M means that N can be isometrically embedded in M. Alors {style d'affichage M=M_{0}supset N_{0}} où N0 est une copie isométrique de N dans M. Par hypothèse, c'est vrai aussi que, N, donc N0, contient une copie isométrique M1 de M. Par conséquent, on peut écrire {style d'affichage M=M_{0}supset N_{0}supset M_{1}.} Par induction, {style d'affichage M=M_{0}supset N_{0}supset M_{1}supset N_{1}supset M_{2}supset N_{2}supset cdots .} Il est clair que {style d'affichage R=cap _{igeq 0}M_{je}=cap _{igeq 0}N_{je}.} Laisser {style d'affichage Mominus N{empiler {mathrm {définitivement} }{=}}mcap (N)^{perp }.} Alors {style d'affichage M=oplus _{igeq 0}(M_{je}sinistre N_{je})quad oplus quad oplus _{il rit 0}(N_{j}sinistre M_{j+1})quad oplus R} et {displaystyle N_{0}=oplus _{igeq 1}(M_{je}sinistre N_{je})quad oplus quad oplus _{il rit 0}(N_{j}sinistre M_{j+1})quad oplus R.} Remarquer {style d'affichage M_{je}sinistre N_{je}Je suis Mominus Nquad {mbox{pour tous}}quad je.} Le théorème découle maintenant de l'additivité dénombrable de ~.

Representations of C*-algebras There is also an analog of Schröder–Bernstein for representations of C*-algebras. Si A est une C*-algèbre, une représentation de A est un *-homomorphisme φ de A dans L(H), les opérateurs bornés sur un certain espace de Hilbert H.

S'il existe une projection P dans L(H) où P φ(un) = f(un) P pour tout a dans A, alors une sous-représentation σ de φ peut être définie de manière naturelle: p(un) est φ(un) limité à la gamme de P. Donc φ peut alors être exprimé comme une somme directe de deux sous-représentations φ = φ' ⊕ σ.

Deux représentations φ1 et φ2, sur H1 et H2 respectivement, sont dits unitairement équivalents s'il existe un opérateur unitaire U: H2 → H1 tel que φ1(un)U = Uφ2(un), pour chaque a.

Dans ce cadre, le théorème de Schröder-Bernstein se lit: Si deux représentations ρ et σ, sur les espaces de Hilbert H et G respectivement, sont chacune unitairement équivalentes à une sous-représentation de l'autre, alors ils sont unitairement équivalents.

Une preuve qui ressemble à l'argument précédent peut être esquissée. L'hypothèse implique qu'il existe des isométries partielles surjectives de H à G et de G à H. Fixez deux de ces isométries partielles pour l'argument. L'un a {style d'affichage rho = rho _{1}simeq rhô _{1}'oplus sigma _{1}quad {mbox{où}}quad sigma _{1}simeq sigma .} À son tour, {style d'affichage rho _{1}simeq rhô _{1}'plus (sigma _{1}'oplus rho _{2})quad {mbox{où}}quadrho _{2}simeq rhô .} Par induction, {style d'affichage rho _{1}simeq rhô _{1}'oplus sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (plus _{igeq 1}rho _{je}')plus (plus _{igeq 1}sigma _{je}'),} et {style d'affichage sigma _{1}simeq sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (plus _{igeq 2}rho _{je}')plus (plus _{igeq 1}sigma _{je}').} Maintenant, chaque sommation supplémentaire dans l'expression de somme directe est obtenue en utilisant l'une des deux isométries partielles fixes, alors {style d'affichage rho _{je}'simeq rhô _{j}'quadruple {mbox{et}}quad sigma _{je}'simeq sigma _{j}'quadruple {mbox{pour tous}}quad je,j;.} Cela prouve le théorème.

Voir aussi le théorème de Schröder-Bernstein pour les espaces mesurables Propriété de Schröder-Bernstein Références B. Blackadar, Algèbres d'opérateurs, Springer, 2006. Catégories: Algèbres de Von NeumannAlgèbres C*