Schröder-Bernstein-Theoreme für Operatoralgebren

Schröder-Bernstein-Theoreme für Operatoralgebren Der Schröder-Bernstein-Satz aus der Mengenlehre hat Analogien im Zusammenhang mit Operatoralgebren. Dieser Artikel behandelt solche Operator-algebraischen Ergebnisse.

Inhalt 1 For von Neumann algebras 2 Darstellungen von C*-Algebren 3 Siehe auch 4 Referenzen Für von Neumann-Algebren Angenommen, M ist eine von Neumann-Algebra und E, F sind Projektionen in M. Sei ~ die Murray-von-Neumann-Äquivalenzrelation auf M. Define a partial order « on the family of projections by E « F if E ~ F' ≤ F. Mit anderen Worten, E « F if there exists a partial isometry U ∈ M such that U*U = E and UU* ≤ F.

Für geschlossene Unterräume M und N sind Projektionen PM und PN, auf M bzw. N, sind Elemente von M, M « N if PM « PN.

The Schröder–Bernstein theorem states that if M « N and N « M, dann M ~ N.

Ein Beweis, eine, die einem mengentheoretischen Argument ähnelt, lässt sich wie folgt skizzieren. Umgangssprachlich, N « M means that N can be isometrically embedded in M. So {Anzeigestil M=M_{0}supset N_{0}} wobei N0 eine isometrische Kopie von N in M ​​ist. Nach Annahme, das stimmt auch, N, also N0, enthält eine isometrische Kopie M1 von M. Deswegen, man kann schreiben {Anzeigestil M=M_{0}supset N_{0}supset M_{1}.} Durch Induktion, {Anzeigestil M=M_{0}supset N_{0}supset M_{1}supset N_{1}supset M_{2}supset N_{2}supset cdots .} Es ist klar, dass {Anzeigestil R=Kappe _{igeq 0}M_{ich}=Kappe _{igeq 0}N_{ich}.} Lassen {displaystyle Mominus N{Stapel {Mathrm {def} }{=}}mcap (N)^{Täter }.} So {Anzeigestil M=oplus _{igeq 0}(M_{ich}Ominöses N_{ich})Quad-Oplus Quad-Oplus _{er lacht 0}(N_{j}ominös M_{j+1})Quad oplus R} und {Anzeigestil N_{0}=oplus _{igeq 1}(M_{ich}Ominöses N_{ich})Quad-Oplus Quad-Oplus _{er lacht 0}(N_{j}ominös M_{j+1})Quad oplus R.} Notiz {Anzeigestil M_{ich}Ominöses N_{ich}Ich bin Mominus Nquad {mbox{für alle}}Quad ich.} Der Satz folgt nun aus der abzählbaren Additivität von ~.

Representations of C*-algebras There is also an analog of Schröder–Bernstein for representations of C*-algebras. Wenn A eine C*-Algebra ist, eine Darstellung von A ist ein *-Homomorphismus φ von A nach L(H), die beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum H.

Wenn es eine Projektion P in L gibt(H) wo P φ(a) = f(a) P für jedes a in A, dann kann auf natürliche Weise eine Unterdarstellung σ von φ definiert werden: p(a) ist φ(a) beschränkt auf das Verbreitungsgebiet von P. Also kann φ als direkte Summe zweier Teildarstellungen φ = φ' ⊕ σ ausgedrückt werden.

Zwei Darstellungen φ1 und φ2, auf H1 bzw. H2, heißen unitär äquivalent, wenn es einen unitären Operator U gibt: H2 → H1 mit φ1(a)U = Uφ2(a), für jedes a.

In dieser Einstellung, lautet der Satz von Schröder-Bernstein: Wenn zwei Darstellungen ρ und σ, auf den Hilbert-Räumen H bzw. G, sind jeweils einheitlich äquivalent zu einer Unterrepräsentation des anderen, dann sind sie einheitlich äquivalent.

Ein Beweis, der dem vorherigen Argument ähnelt, kann skizziert werden. Die Annahme impliziert, dass es surjektive partielle Isometrien von H nach G und von G nach H gibt. Fixieren Sie zwei solche partiellen Isometrien für das Argument. Hat man {Anzeigestil rho = rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}Quad {mbox{wo}}Quad-Sigma _{1}Simeq-Sigma .} Im Gegenzug, {Anzeigestil rho _{1}simeq rho _{1}'Oplus (Sigma _{1}'oplus rho _{2})Quad {mbox{wo}}viereck rho _{2}simeq rho .} Durch Induktion, {Anzeigestil rho _{1}simeq rho _{1}'oplus sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (opus _{igeq 1}rho_{ich}')opus (opus _{igeq 1}Sigma _{ich}'),} und {Anzeigestil Sigma _{1}simeq sigma _{1}'oplus rho _{2}'oplus sigma _{2}'cdots simeq (opus _{igeq 2}rho_{ich}')opus (opus _{igeq 1}Sigma _{ich}').} Nun wird jeder weitere Summand im direkten Summenausdruck mit einer der beiden festen Teilisometrien gewonnen, Also {Anzeigestil rho _{ich}'simeq rho _{j}'Quadrat {mbox{und}}Quad-Sigma _{ich}'simeq sigma _{j}'Quadrat {mbox{für alle}}Quad ich,j;.} Dies beweist den Satz.

Siehe auch Satz von Schröder-Bernstein für messbare Räume Schröder-Bernstein-Eigenschaft Referenzen B. Schwarzadar, Operatoralgebren, Springer, 2006. Kategorien: Von Neumann algebrasC*-algebras