Teorema de Schröder-Bernstein para espaços mensuráveis

Teorema de Schröder-Bernstein para espaços mensuráveis (Redirecionado do teorema de Schroeder-Bernstein para espaços mensuráveis) Pular para navegação Pular para pesquisa O teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder da teoria dos conjuntos tem uma contrapartida para espaços mensuráveis, às vezes chamado de teorema de Borel Schroeder-Bernstein, uma vez que os espaços mensuráveis ​​também são chamados de espaços de Borel. Este teorema, cuja prova é bem fácil, é instrumental ao provar que dois espaços mensuráveis ​​são isomórficos. A teoria geral de espaços padrão de Borel contém resultados muito fortes sobre espaços mensuráveis ​​isomórficos, veja o teorema de Kuratowski. No entanto, (uma) o último teorema é muito difícil de provar, (b) o primeiro teorema é satisfatório em muitos casos importantes (veja exemplos), e (c) o primeiro teorema é usado na prova do último teorema.

Conteúdo 1 O teorema 1.1 Comentários 1.2 Prova 2 Exemplos 2.1 Exemplo 1 2.2 Exemplo 2 3 References The theorem Let {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} ser espaços mensuráveis. Se houver injeção, mapas bimensuráveis {estilo de exibição f:Xº Y,} {estilo de exibição g:Y para X,} então {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} são isomórficos (a propriedade Schröder-Bernstein).

Comments The phrase " {estilo de exibição f} é bimensurável" significa que, primeiro, {estilo de exibição f} é mensurável (isso é, a pré-imagem {estilo de exibição f^{-1}(B)} é mensurável para cada mensurável {displaystyle Bsubset Y} ), e em segundo lugar, a imagem {estilo de exibição f(UMA)} é mensurável para cada mensurável {estilo de exibição Asubconjunto X} . (Desta forma, {estilo de exibição f(X)} deve ser um subconjunto mensurável de {estilo de exibição Y,} não necessariamente todo {estilo de exibição Y.} ) Um isomorfismo (entre dois espaços mensuráveis) é, por definição, uma bijeção bimensurável. Se existe, esses espaços mensuráveis ​​são chamados isomórficos.

Proof First, se constrói uma bijeção {estilo de exibição h:Xº Y} fora de {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} exatamente como na prova do teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder. Segundo, {estilo de exibição h} é mensurável, pois coincide com {estilo de exibição f} em um conjunto mensurável e com {estilo de exibição g^{-1}} em seu complemento. De forma similar, {estilo de exibição h^{-1}} é mensurável.

Exemplos Mapas de exemplo f:(0,1)→[0,1] e g:[0,1]→(0,1). Exemplo 1 O intervalo aberto (0, 1) e o intervalo fechado [0, 1] são evidentemente não-isomórficos como espaços topológicos (isso é, não homeomorfo). No entanto, eles são isomórficos como espaços mensuráveis. De fato, o intervalo fechado é evidentemente isomórfico a um subintervalo fechado mais curto do intervalo aberto. Também o intervalo aberto é evidentemente isomórfico a uma parte do intervalo fechado (apenas em si, por exemplo).

Exemplo 2 A verdadeira linha {estilo de exibição mathbb {R} } e o avião {estilo de exibição mathbb {R} ^{2}} são isomórficos como espaços mensuráveis. É imediato para incorporar {estilo de exibição mathbb {R} } em {estilo de exibição mathbb {R} ^{2}.} A conversa, incorporação de {estilo de exibição mathbb {R} ^{2}.} em {estilo de exibição mathbb {R} } (como espaços mensuráveis, é claro, não como espaços topológicos) pode ser feito por um truque bem conhecido com dígitos intercalados; por exemplo, g(Pi,100e) = g(3.14159 265…, 271.82818 28…) = 20731.184218 51982 2685….

O mapa {estilo de exibição g:mathbb {R} ^{2}para mathbb {R} } é claramente injetivo. É fácil verificar que é bimensurável. (No entanto, não é bijetivo; por exemplo, o número {estilo de exibição 1/11 = 0,090909 pontos } não é da forma {estilo de exibição g(x,y)} ).

Referências S.M.. Srivastava, Um curso sobre conjuntos de Borel, Springer, 1998. Ver proposta 3.3.6 (na página 96), e o primeiro parágrafo da Seção 3.3 (na página 94). Categorias: Teoremas na teoria da medidaTeoria descritiva dos conjuntosTeoremas nos fundamentos da matemática