Teorema di Schröder-Bernstein per spazi misurabili

Teorema di Schröder-Bernstein per spazi misurabili (Reindirizzato dal teorema di Schroeder-Bernstein per spazi misurabili) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Il teorema di Cantor–Bernstein–Schroeder della teoria degli insiemi ha una controparte per gli spazi misurabili, a volte chiamato teorema di Borel Schroeder-Bernstein, poiché gli spazi misurabili sono anche chiamati spazi Borel. Questo teorema, la cui dimostrazione è abbastanza facile, è determinante per dimostrare che due spazi misurabili sono isomorfi. La teoria generale degli spazi Borel standard contiene risultati molto forti sugli spazi misurabili isomorfi, vedi il teorema di Kuratowski. Tuttavia, (un) quest'ultimo teorema è molto difficile da dimostrare, (b) il primo teorema è soddisfacente in molti casi importanti (vedi Esempi), e (c) il primo teorema è usato nella dimostrazione del secondo teorema.

Contenuti 1 Il teorema 1.1 Commenti 1.2 Prova 2 Esempi 2.1 Esempio 1 2.2 Esempio 2 3 References The theorem Let {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} essere spazi misurabili. Se esiste iniettivo, mappe bimisurabili {stile di visualizzazione f:Xth Y,} {stile di visualizzazione g:da Y a X,} poi {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} sono isomorfi (la proprietà Schröder–Bernstein).

Comments The phrase " {stile di visualizzazione f} è bimisurabile" significa che, primo, {stile di visualizzazione f} è misurabile (questo è, la preimmagine {stile di visualizzazione f^{-1}(B)} è misurabile per ogni misurabile {displaystyle Bsottoinsieme Y} ), e secondo, l'immagine {stile di visualizzazione f(UN)} è misurabile per ogni misurabile {displaystyle Asottoinsieme X} . (così, {stile di visualizzazione f(X)} deve essere un sottoinsieme misurabile di {stile di visualizzazione Y,} non necessariamente il tutto {stile di visualizzazione Y.} ) Un isomorfismo (tra due spazi misurabili) è, per definizione, una biiezione bimisurabile. Se esiste, questi spazi misurabili sono chiamati isomorfi.

Proof First, si costruisce una biiezione {stile di visualizzazione h:Xth Y} fuori da {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} esattamente come nella dimostrazione del teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder. Secondo, {stile di visualizzazione h} è misurabile, poiché coincide con {stile di visualizzazione f} su un set misurabile e con {stile di visualizzazione g^{-1}} sul suo complemento. Allo stesso modo, {stile di visualizzazione h^{-1}} è misurabile.

Esempi Esempi di mappe f:(0,1)→[0,1] e g:[0,1]→(0,1). Esempio 1 L'intervallo aperto (0, 1) e l'intervallo chiuso [0, 1] sono evidentemente non isomorfi come spazi topologici (questo è, non omeomorfo). Tuttavia, sono isomorfi come spazi misurabili. Infatti, l'intervallo chiuso è evidentemente isomorfo a un sottointervallo chiuso più breve dell'intervallo aperto. Anche l'intervallo aperto è evidentemente isomorfo ad una parte dell'intervallo chiuso (solo se stesso, per esempio).

Esempio 2 La vera linea {displaystyle mathbb {R} } e l'aereo {displaystyle mathbb {R} ^{2}} sono isomorfi come spazi misurabili. È immediato da incorporare {displaystyle mathbb {R} } in {displaystyle mathbb {R} ^{2}.} Il contrario, incorporamento di {displaystyle mathbb {R} ^{2}.} in {displaystyle mathbb {R} } (come spazi misurabili, Certo, non come spazi topologici) può essere realizzato con un noto trucco con cifre intervallate; Per esempio, g(Pi,100e) = g(3.14159 265…, 271.82818 28…) = 20731.184218 51982 2685….

La mappa {stile di visualizzazione g:mathbb {R} ^{2}a matematicabb {R} } è chiaramente iniettiva. È facile verificare che sia bimisurabile. (Tuttavia, non è biunivoca; Per esempio, il numero {displaystyle 1/11=0,090909punti } non è della forma {stile di visualizzazione g(X,y)} ).

Riferimenti SM. Srivastava, Un corso sui set Borel, Springer, 1998. Vedi Proposta 3.3.6 (alla pagina 96), e il primo comma della Sez 3.3 (alla pagina 94). Categorie: Teoremi nella teoria della misuraTeorema descrittiva degli insiemiTeoremi nei fondamenti della matematica