Théorème de Schröder – Bernstein pour les espaces mesurables

Théorème de Schröder – Bernstein pour les espaces mesurables (Redirigé du théorème de Schroeder – Bernstein pour les espaces mesurables) Aller à la navigation Aller à la recherche Le théorème de Cantor-Bernstein-Schroeder de la théorie des ensembles a une contrepartie pour les espaces mesurables, parfois appelé théorème de Borel Schroeder-Bernstein, puisque les espaces mesurables sont aussi appelés espaces de Borel. Ce théorème, dont la preuve est assez facile, est déterminant pour prouver que deux espaces mesurables sont isomorphes. La théorie générale des espaces de Borel standard contient des résultats très solides sur les espaces mesurables isomorphes, voir le théorème de Kuratowski. Cependant, (un) ce dernier théorème est très difficile à prouver, (b) le premier théorème est satisfaisant dans de nombreux cas importants (voir Exemples), et (c) le premier théorème est utilisé dans la preuve du dernier théorème.

Contenu 1 Le théorème 1.1 commentaires 1.2 Preuve 2 Exemples 2.1 Exemple 1 2.2 Exemple 2 3 References The theorem Let {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} être des espaces mesurables. S'il existe des injectifs, cartes bimesurables {style d'affichage f:Xe Y,} {style d'affichage g:Yà X,} alors {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} sont isomorphes (la propriété Schröder-Bernstein).

Comments The phrase " {style d'affichage f} est bimesurable" signifie que, première, {style d'affichage f} est mesurable (C'est, la préimage {style d'affichage f^{-1}(B)} est mesurable pour chaque mesurable {style d'affichage B sous-ensemble Y} ), et deuxieme, l'image {style d'affichage f(UN)} est mesurable pour chaque mesurable {style d'affichage Un sous-ensemble X} . (Ainsi, {style d'affichage f(X)} doit être un sous-ensemble mesurable de {style d'affichage Y,} pas forcément le tout {style d'affichage Y.} ) Un isomorphisme (entre deux espaces mesurables) est, par définition, une bijection bimesurable. S'il existe, ces espaces mesurables sont dits isomorphes.

Proof First, on construit une bijection {style d'affichage h:Xe Y} hors de {style d'affichage f} et {style d'affichage g} exactement comme dans la preuve du théorème de Cantor-Bernstein-Schroeder. Deuxième, {style d'affichage h} est mesurable, puisqu'il coïncide avec {style d'affichage f} sur un ensemble mesurable et avec {style d'affichage g^{-1}} sur son complément. De la même manière, {style d'affichage h^{-1}} est mesurable.

Exemples Exemples de cartes f:(0,1)→[0,1] et g:[0,1]→(0,1). Exemple 1 L'intervalle ouvert (0, 1) et l'intervalle fermé [0, 1] sont évidemment non isomorphes en tant qu'espaces topologiques (C'est, non homéomorphe). Cependant, ils sont isomorphes en tant qu'espaces mesurables. En effet, l'intervalle fermé est évidemment isomorphe à un sous-intervalle fermé plus court de l'intervalle ouvert. Aussi l'intervalle ouvert est évidemment isomorphe à une partie de l'intervalle fermé (juste lui-même, par exemple).

Exemple 2 La vraie ligne {style d'affichage mathbb {R} } et l'avion {style d'affichage mathbb {R} ^{2}} sont isomorphes en tant qu'espaces mesurables. Il est immédiat d'encastrer {style d'affichage mathbb {R} } dans {style d'affichage mathbb {R} ^{2}.} L'inverse, intégration de {style d'affichage mathbb {R} ^{2}.} dans {style d'affichage mathbb {R} } (comme des espaces mesurables, bien sûr, pas comme des espaces topologiques) peut être fait par une astuce bien connue avec des chiffres entrecoupés; par exemple, g(Pi,100e) =g(3.14159 265…, 271.82818 28…) = 20731.184218 51982 2685….

La carte {style d'affichage g:mathbb {R} ^{2}à mathbb {R} } est clairement injectif. Il est facile de vérifier qu'il est bimesurable. (Cependant, ce n'est pas bijectif; par exemple, le nombre {style d'affichage 1/11=0.090909dots } n'est pas de la forme {style d'affichage g(X,y)} ).

Références S.M. Srivastava, Un cours sur les ensembles boréliens, Springer, 1998. Voir proposition 3.3.6 (sur la page 96), et le premier alinéa de l'article 3.3 (sur la page 94). Catégories: Théorèmes de la théorie de la mesureThéorie descriptive des ensemblesThéorèmes des fondements des mathématiques