Satz von Schröder-Bernstein für messbare Räume

Satz von Schröder-Bernstein für messbare Räume (Umgeleitet vom Satz von Schroeder-Bernstein für messbare Räume) Zur Navigation springen Zur Suche springen Der Cantor-Bernstein-Schroeder-Satz der Mengenlehre hat ein Gegenstück für messbare Räume, manchmal auch Borel-Schroeder-Bernstein-Theorem genannt, da messbare Räume auch Borelräume genannt werden. Dieser Satz, dessen Beweis recht einfach ist, ist hilfreich beim Beweis, dass zwei messbare Räume isomorph sind. Die allgemeine Theorie der Standard-Borel-Räume enthält sehr starke Ergebnisse über isomorphe messbare Räume, siehe Satz von Kuratowski. Jedoch, (a) letzteres Theorem ist sehr schwer zu beweisen, (b) der erstere Satz ist in vielen wichtigen Fällen zufriedenstellend (siehe Beispiele), und (c) der erstere Satz wird im Beweis des letzteren Satzes verwendet.

Inhalt 1 Der Satz 1.1 Kommentare 1.2 Nachweisen 2 Beispiele 2.1 Beispiel 1 2.2 Beispiel 2 3 References The theorem Let {Anzeigestil X} und {Anzeigestil Y} messbare Räume sein. Wenn es Injektive gibt, bimessbare Karten {Anzeigestil f:X. Y,} {Anzeigestil g:Y bis X,} dann {Anzeigestil X} und {Anzeigestil Y} sind isomorph (die Schröder-Bernstein-Liegenschaft).

Comments The phrase " {Anzeigestil f} ist bimessbar" bedeutet, dass, Erste, {Anzeigestil f} ist messbar (das ist, das Vorbild {Anzeigestil f^{-1}(B)} ist für jedes Messbare messbar {Anzeigestil Bsubset Y} ), und zweitens, das Bild {Anzeigestil f(EIN)} ist für jedes Messbare messbar {displaystyle Asubset X} . (Daher, {Anzeigestil f(X)} muss eine messbare Teilmenge von sein {Anzeigestil Y,} nicht unbedingt das Ganze {Anzeigestil Y.} ) Ein Isomorphismus (zwischen zwei messbaren Räumen) ist, per Definition, eine bimessbare Bijektion. Falls vorhanden, diese messbaren Räume werden isomorph genannt.

Proof First, man konstruiert eine Bijektion {Anzeigestil h:X. Y} aus {Anzeigestil f} und {Anzeigestil g} genau wie im Beweis des Cantor-Bernstein-Schroeder-Theorems. Zweite, {Anzeigestil h} ist messbar, da es mit zusammenfällt {Anzeigestil f} auf einer messbaren Menge und mit {Anzeigestil g^{-1}} auf seine Ergänzung. Ähnlich, {Anzeigestil h^{-1}} ist messbar.

Beispiele Beispielkarten f:(0,1)→[0,1] und G:[0,1]→(0,1). Beispiel 1 Das offene Intervall (0, 1) und das geschlossene Intervall [0, 1] sind als topologische Räume offensichtlich nicht isomorph (das ist, nicht homöomorph). Jedoch, sie sind als messbare Räume isomorph. In der Tat, das geschlossene Intervall ist offensichtlich isomorph zu einem kürzeren geschlossenen Subintervall des offenen Intervalls. Auch das offene Intervall ist offensichtlich isomorph zu einem Teil des geschlossenen Intervalls (nur sich selbst, zum Beispiel).

Beispiel 2 Die wahre Linie {Anzeigestil mathbb {R} } und das Flugzeug {Anzeigestil mathbb {R} ^{2}} sind als messbare Räume isomorph. Es ist sofort einzubetten {Anzeigestil mathbb {R} } hinein {Anzeigestil mathbb {R} ^{2}.} Das Gegenteil, Einbettung von {Anzeigestil mathbb {R} ^{2}.} hinein {Anzeigestil mathbb {R} } (als messbare Räume, Natürlich, nicht als topologische Räume) kann durch einen bekannten Trick mit eingestreuten Ziffern erfolgen; zum Beispiel, g(Pi,100e) = g(3.14159 265…, 271.82818 28…) = 20731.184218 51982 2685….

Die Karte {Anzeigestil g:mathbb {R} ^{2}zu mathbb {R} } ist eindeutig injektiv. Es ist leicht zu überprüfen, ob es bimessbar ist. (Jedoch, es ist nicht bijektiv; zum Beispiel, die Nummer {Anzeigestil 1/11 = 0,090909 Punkte } ist nicht formschön {Anzeigestil g(x,j)} ).

Referenzen S.M. Srivastava, Ein Kurs über Borel-Mengen, Springer, 1998. Siehe Vorschlag 3.3.6 (Auf Seite 96), und der erste Absatz des Abschnitts 3.3 (Auf Seite 94). Kategorien: Theoreme der MaßtheorieDeskriptive MengenlehreTheoreme der Grundlagen der Mathematik