Teorema di raffinamento di Schreier

Teorema di raffinamento di Schreier in matematica, il teorema di raffinamento di Schreier della teoria dei gruppi afferma che due serie subnormali qualsiasi di sottogruppi di un dato gruppo hanno raffinamenti equivalenti, dove due serie sono equivalenti se c'è una biiezione tra i loro gruppi di fattori che invia ogni gruppo di fattori a uno isomorfo.

Il teorema prende il nome dal matematico austriaco Otto Schreier che lo dimostrò 1928. Fornisce un'elegante dimostrazione del teorema di Jordan-Hölder. Viene spesso dimostrato usando il lemma di Zassenhaus. scorie arboree (2006) fornisce una breve dimostrazione intersecando i termini di una serie subnormale con quelli dell'altra serie.

Example Consider {displaystyle mathbb {Z} _{2}volte S_{3}} , dove {stile di visualizzazione S_{3}} è il gruppo simmetrico dei gradi 3. Il gruppo alternato {stile di visualizzazione A_{3}} è un normale sottogruppo di {stile di visualizzazione S_{3}} , quindi abbiamo le due serie subnormali {stile di visualizzazione {0}volte {(1)};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte {(1)};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte S_{3},} {stile di visualizzazione {0}volte {(1)};triangolo a sinistra ;{0}volte A_{3};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte S_{3},} con i rispettivi gruppi di fattori {stile di visualizzazione (mathbb {Z} _{2},S_{3})} e {stile di visualizzazione (UN_{3},mathbb {Z} _{2}volte mathbb {Z} _{2})} .

Le due serie subnormali non sono equivalenti, ma hanno raffinatezze equivalenti: {stile di visualizzazione {0}volte {(1)};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte {(1)};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte A_{3};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte S_{3}} con gruppi di fattori isomorfi a {stile di visualizzazione (mathbb {Z} _{2},UN_{3},mathbb {Z} _{2})} e {stile di visualizzazione {0}volte {(1)};triangolo a sinistra ;{0}volte A_{3};triangolo a sinistra ;{0}volte S_{3};triangolo a sinistra ;mathbb {Z} _{2}volte S_{3}} con gruppi di fattori isomorfi a {stile di visualizzazione (UN_{3},mathbb {Z} _{2},mathbb {Z} _{2})} .

Riferimenti Baumslag, Beniamino (2006), "Un modo semplice per dimostrare il teorema di Jordan-Hölder-Schreier", Mensile matematico americano, 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092, JSTOR 27642092 Questo articolo sull'algebra astratta è solo un abbozzo. Puoi aiutare Wikipedia espandendolo.

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