Schnirelmann density

Properties By definition, 0 ≤ A(n) ≤ n and n σA ≤ A(n) for all n, e, portanto, 0 ≤ σA ≤ 1, and σA = 1 if and only if A = N. Além disso, {displaystyle sigma A=0Rightarrow forall epsilon >0 exists n A(n)0} then there exists {estilo de exibição k} de tal modo que {estilo de exibição bigoplus _{i=1}^{k}A=mathbb {N} .} Additive bases A subset {displaystyle Asubseteq mathbb {N} } with the property that {displaystyle Aoplus Aoplus cdots oplus A=mathbb {N} } for a finite sum, is called an additive basis, and the least number of summands required is called the degree (sometimes order) of the basis. Desta forma, the last theorem states that any set with positive Schnirelmann density is an additive basis. Nesta terminologia, the set of squares {estilo de exibição {mathfrak {G}}^{2}={k^{2}}_{k=1}^{infty }} is an additive basis of degree 4. (About an open problem for additive bases, see Erdős–Turán conjecture on additive bases.) Mann's theorem Historically the theorems above were pointers to the following result, at one time known as the {displaystyle alpha +beta } hypothesis. It was used by Edmund Landau and was finally proved by Henry Mann in 1942.

Teorema. (Mann 1942) Deixar {estilo de exibição A} e {estilo de exibição B} be subsets of {estilo de exibição mathbb {N} } . In case that {displaystyle Aoplus Bneq mathbb {N} } , nós ainda temos {estilo de exibição sigma (Aoplus B)geq sigma A+sigma B.} An analogue of this theorem for lower asymptotic density was obtained by Kneser.[4] At a later date, E. Artin and P. Scherk simplified the proof of Mann's theorem.[5] Waring's problem Main article: Waring's problem Let {estilo de exibição k} e {estilo de exibição N} be natural numbers. Deixar {estilo de exibição {mathfrak {G}}^{k}={i^{k}}_{i=1}^{infty }} . Definir {estilo de exibição r_{N}^{k}(n)} to be the number of non-negative integral solutions to the equation {estilo de exibição x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+cdots +x_{N}^{k}=n} e {estilo de exibição R_{N}^{k}(n)} to be the number of non-negative integral solutions to the inequality {displaystyle 0leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+cdots +x_{N}^{k}leq n,} in the variables {estilo de exibição x_{eu}} , respectivamente. Desta forma {estilo de exibição R_{N}^{k}(n)=soma _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(eu)} . Nós temos {estilo de exibição r_{N}^{k}(n)>0leftrightarrow nin N{mathfrak {G}}^{k},} {estilo de exibição R_{N}^{k}(n)gek deixou({fratura {n}{N}}certo)^{fratura {N}{k}}.} The volume of the {estilo de exibição N} -dimensional body defined by {displaystyle 0leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+cdots +x_{N}^{k}leq n} , is bounded by the volume of the hypercube of size {estilo de exibição n^{1/k}} , por isso {estilo de exibição R_{N}^{k}(n)=soma _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(eu)leq n^{N/k}} . The hard part is to show that this bound still works on the average, ou seja, Lema. (Linnik) Para todos {displaystyle kin mathbb {N} } existe {estilo de exibição Nin mathbb {N} } and a constant {displaystyle c=c(k)} , depending only on {estilo de exibição k} , tal que para todos {estilo de exibição nin mathbb {N} } , {estilo de exibição r_{N}^{k}(m)0} .

We have thus established the general solution to Waring's Problem: Corolário. (Hilbert 1909) Para todos {estilo de exibição k} existe {estilo de exibição N} , depending only on {estilo de exibição k} , such that every positive integer {estilo de exibição m} can be expressed as the sum of at most {estilo de exibição N} many {estilo de exibição k} -th powers.