# Schnirelmann density

Properties By definition, 0 ≤ A(n) ≤ n and n σA ≤ A(n) for all n, e quindi 0 ≤ σA ≤ 1, and σA = 1 if and only if A = N. Inoltre, {displaystyle sigma A=0Rightarrow forall epsilon >0 exists n A(n)0} then there exists {stile di visualizzazione k} tale che {displaystyle bigoplus _{io=1}^{K}A=mathbb {N} .} Additive bases A subset {displaystyle Asubseteq mathbb {N} } with the property that {displaystyle Aoplus Aoplus cdots oplus A=mathbb {N} } for a finite sum, is called an additive basis, and the least number of summands required is called the degree (sometimes order) of the basis. così, the last theorem states that any set with positive Schnirelmann density is an additive basis. In questa terminologia, the set of squares {stile di visualizzazione {mathfrak {G}}^{2}={k^{2}}_{k=1}^{infty }} is an additive basis of degree 4. (About an open problem for additive bases, see Erdős–Turán conjecture on additive bases.) Mann's theorem Historically the theorems above were pointers to the following result, at one time known as the {displaystyle alpha +beta } hypothesis. It was used by Edmund Landau and was finally proved by Henry Mann in 1942.

Teorema. (Mann 1942) Permettere {stile di visualizzazione A} e {stile di visualizzazione B} be subsets of {displaystyle mathbb {N} } . In case that {displaystyle Aoplus Bneq mathbb {N} } , noi abbiamo ancora {displaystyle sigma (Aoplus B)geq sigma A+sigma B.} An analogue of this theorem for lower asymptotic density was obtained by Kneser.[4] At a later date, e. Artin and P. Scherk simplified the proof of Mann's theorem.[5] Waring's problem Main article: Waring's problem Let {stile di visualizzazione k} e {stile di visualizzazione N} be natural numbers. Permettere {stile di visualizzazione {mathfrak {G}}^{K}={i^{K}}_{io=1}^{infty }} . Definire {stile di visualizzazione r_{N}^{K}(n)} to be the number of non-negative integral solutions to the equation {stile di visualizzazione x_{1}^{K}+X_{2}^{K}+cdots +x_{N}^{K}=n} e {stile di visualizzazione R_{N}^{K}(n)} to be the number of non-negative integral solutions to the inequality {displaystyle 0leq x_{1}^{K}+X_{2}^{K}+cdots +x_{N}^{K}leq n,} in the variables {stile di visualizzazione x_{io}} , rispettivamente. così {stile di visualizzazione R_{N}^{K}(n)=somma _{io=0}^{n}r_{N}^{K}(io)} . abbiamo {stile di visualizzazione r_{N}^{K}(n)>0leftrightarrow nin N{mathfrak {G}}^{K},} {stile di visualizzazione R_{N}^{K}(n)gek a sinistra({frac {n}{N}}Giusto)^{frac {N}{K}}.} The volume of the {stile di visualizzazione N} -dimensional body defined by {displaystyle 0leq x_{1}^{K}+X_{2}^{K}+cdots +x_{N}^{K}leq n} , is bounded by the volume of the hypercube of size {stile di visualizzazione n^{1/K}} , quindi {stile di visualizzazione R_{N}^{K}(n)=somma _{io=0}^{n}r_{N}^{K}(io)leq n^{N/k}} . The hard part is to show that this bound still works on the average, cioè., Lemma. (Linnik) Per tutti {displaystyle kin mathbb {N} } lì esiste {displaystyle Nin mathbb {N} } and a constant {displaystyle c=c(K)} , depending only on {stile di visualizzazione k} , tale che per tutti {displaystyle nin mathbb {N} } , {stile di visualizzazione r_{N}^{K}(m)0} .

We have thus established the general solution to Waring's Problem: Corollario. (Hilbert 1909) Per tutti {stile di visualizzazione k} lì esiste {stile di visualizzazione N} , depending only on {stile di visualizzazione k} , such that every positive integer {stile di visualizzazione n} can be expressed as the sum of at most {stile di visualizzazione N} many {stile di visualizzazione k} -th powers.