Teorema de Schneider-Lang

Teorema de Schneider-Lang Em matemática, o teorema de Schneider-Lang é um refinamento de Lang (1966) de um teorema de Schneider (1949) sobre a transcendência de valores de funções meromorfas. O teorema implica os teoremas de Hermite-Lindemann e Gelfond-Schneider, e implica a transcendência de alguns valores de funções elípticas e funções modulares elípticas.

Conteúdo 1 Declaração 2 Exemplos 3 Prova 4 Teorema de Bombieri 4.1 Exemplo 5 References Statement Fix a number field K and meromorphic f1, ..., fN, dos quais pelo menos dois são algebricamente independentes e têm ordens ρ1 e ρ2, e tal que fj′ ∈ K[f1, ..., fN] para qualquer j. Então há no máximo {estilo de exibição (rho _{1}+rho _{2})[K:mathbb {Q} ],} números complexos distintos ω1, ..., ωm tal que fi(ωj) ∈ K para todas as combinações de i e j.

Exemplos Se f1(z) = z and f2(z) = ez then the theorem implies the Hermite–Lindemann theorem that eα is transcendental for nonzero algebraic α: por outro lado, uma, 2uma, 3uma, ... seria um número infinito de valores em que f1 e f2 são algébricos. Da mesma forma tomando f1(z) = ez and f2(z) = eβz for β irrational algebraic implies the Gelfond–Schneider theorem that if α and αβ are algebraic, then α ∈ {0,1}: por outro lado, registro(uma), 2registro(uma), 3registro(uma), ... seria um número infinito de valores em que f1 e f2 são algébricos. Lembre-se de que a função Weierstrass P satisfaz a equação diferencial {estilo de exibição wp '(z)^{2}=4wp (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}.,} Tomando as três funções como z, ℘(az), ℘′(az) mostra que, para qualquer α algébrico, se g2(uma) e g3(uma) são algébricos, então ℘(uma) é transcendental. Tomando as funções como z e e f(z) for a polynomial f of degree ρ shows that the number of points where the functions are all algebraic can grow linearly with the order ρ = deg f. Proof To prove the result Lang took two algebraically independent functions from f1, ..., fN, dizer, f e g, e então criou uma função auxiliar F ∈ K[ f, g]. Usando o lema de Siegel, ele então mostrou que se poderia assumir que F desapareceu para uma ordem alta no ω1, ..., ωm. Assim, uma derivada de alta ordem de F assume um valor de tamanho pequeno em um desses ω é, "Tamanho" aqui se referindo a uma propriedade algébrica de um número. Usando o princípio do módulo máximo, Lang também encontrou uma estimativa separada para valores absolutos de derivadas de F. Os resultados padrão conectam o tamanho de um número e seu valor absoluto, e as estimativas combinadas implicam o limite reivindicado em m.

Bombieri's theorem Bombieri & Lang (1970) e Bombieri (1970) generalizou o resultado para funções de várias variáveis. Bombieri showed that if K is an algebraic number field and f1, ..., fN are meromorphic functions of d complex variables of order at most ρ generating a field K(f1, ..., fN) of transcendence degree at least d + 1 que é fechado sob todas as derivadas parciais, então o conjunto de pontos onde todas as funções fn têm valores em K está contido em uma hipersuperfície algébrica em Cd de grau no máximo {estilo de exibição d((d+1)rho [K:mathbb {Q} ]+1).} Waldschmidt (1979, teorema 5.1.1) deu uma prova mais simples do teorema de Bombieri, com um limite ligeiramente mais forte de d(p1 + ... + ρd+1)[K:Q] para o grau, where the ρj are the orders of d + 1 funções algebricamente independentes. The special case d = 1 fornece o teorema de Schneider-Lang, com um limite de (p1 + p2)[K:Q] para o número de pontos.

Example If {estilo de exibição p} é um polinômio com coeficientes inteiros então as funções {estilo de exibição z_{1},...,z_{n},e^{p(z_{1},...,z_{n})}} são todos algébricos em um conjunto denso de pontos da hipersuperfície {estilo de exibição p=0} .

Referências Bombieri, Henrique (1970), "Valores algébricos de mapas meromorfos", Descobertas matemáticas, 10 (4): 267-287, doi:10.1007/BF01418775, ISSN 0020-9910, SENHOR 0306201 Bombieri, Henrique (1971), "Adendo ao meu artigo: "Valores algébricos de mapas meromorfos" (Inventar. Matemática. 10 (1970), 267-287)", Descobertas matemáticas, 11 (2): 163-166, doi:10.1007/BF01404610, ISSN 0020-9910, SENHOR 0322203 Bombieri, Henrique; Lang, Sarja (1970), "Subgrupos analíticos de variedades de grupo", Descobertas matemáticas, 11: 1-14, doi:10.1007/BF01389801, ISSN 0020-9910, SENHOR 0296028 Lang, S. (1966), Introdução aos números transcendentais, Editora Addison-Wesley Lelong, Pierre (1971), "Valores algébricos de um mapa meromorfo (de acordo com E. Bombieri) Exp. Não. 384", Seminário Bourbaki, 23º ano (1970/1971), Notas de aula em matemática, volume. 244, Berlim, Nova york: Springer-Verlag, pp. 29-45, doi:10.1007/BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, SENHOR 0414500 Schneider, Theodor (1949), "Um teorema sobre funções integrais como um princípio para provas de transcendência", Anais Matemáticos, 121: 131-140, doi:10.1007/BF01329621, ISSN 0025-5831, SENHOR 0031498 Waldschmidt, Michel (1979), Números transcendentes e grupos algébricos, Asterisco, volume. 69, Paris: Categorias da Sociedade Matemática Francesa: Aproximação diofantinaNúmeros transcendentais