Teorema di Schneider-Lang

Teorema di Schneider-Lang In matematica, il teorema di Schneider-Lang è un perfezionamento di Lang (1966) di un teorema di Schneider (1949) sulla trascendenza dei valori delle funzioni meromorfiche. Il teorema implica entrambi i teoremi di Hermite-Lindemann e Gelfond-Schneider, e implica la trascendenza di alcuni valori delle funzioni ellittiche e delle funzioni modulari ellittiche.

Contenuti 1 Dichiarazione 2 Esempi 3 Prova 4 Il teorema di Bombieri 4.1 Esempio 5 References Statement Fix a number field K and meromorphic f1, ..., fN, di cui almeno due sono algebricamente indipendenti e hanno ordini ρ1 e ρ2, e tale che fj′ ∈ K[f1, ..., fN] per qualsiasi j. Poi ci sono al massimo {stile di visualizzazione (ro _{1}+ro _{2})[K:mathbb {Q} ],} numeri complessi distinti ω1, ..., ωm tale che fi(ωj) ∈ K per tutte le combinazioni di i e j.

Esempi Se f1(z) = z and f2(z) = ez then the theorem implies the Hermite–Lindemann theorem that eα is transcendental for nonzero algebraic α: altrimenti, un, 2un, 3un, ... sarebbe un numero infinito di valori a cui sia f1 che f2 sono algebrici. Allo stesso modo prendendo f1(z) = ez and f2(z) = eβz for β irrational algebraic implies the Gelfond–Schneider theorem that if α and αβ are algebraic, then α ∈ {0,1}: altrimenti, tronco d'albero(un), 2tronco d'albero(un), 3tronco d'albero(un), ... sarebbe un numero infinito di valori a cui sia f1 che f2 sono algebrici. Ricordiamo che la funzione P di Weierstrass soddisfa l'equazione differenziale {displaystyle wp '(z)^{2}=4pv (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}.,} Assumendo le tre funzioni per z, ℘(az), ℘′(az) mostra che, per ogni algebrica α, se g2(un) e g3(un) sono algebrici, poi ℘(un) è trascendentale. Considerando le funzioni z ed e f(z) for a polynomial f of degree ρ shows that the number of points where the functions are all algebraic can grow linearly with the order ρ = deg f. Proof To prove the result Lang took two algebraically independent functions from f1, ..., fN, dire, f e g, e quindi ha creato una funzione ausiliaria F ∈ K[ f, g]. Usando il lemma di Siegel, ha poi mostrato che si può presumere che F sia svanito ad un ordine elevato al ω1, ..., ωm. Quindi una derivata di ordine superiore di F assume un valore di piccola dimensione in uno di questi ωis, "taglia" qui riferito ad una proprietà algebrica di un numero. Utilizzando il principio del modulo massimo, Lang ha anche trovato una stima separata per i valori assoluti delle derivate di F. I risultati standard collegano la dimensione di un numero e il suo valore assoluto, e le stime combinate implicano il preteso limite su m.

Bombieri's theorem Bombieri & Lang (1970) e Bombieri (1970) generalizzato il risultato a funzioni di più variabili. Bombieri showed that if K is an algebraic number field and f1, ..., fN are meromorphic functions of d complex variables of order at most ρ generating a field K(f1, ..., fN) of transcendence degree at least d + 1 che è chiuso sotto tutte le derivate parziali, allora l'insieme dei punti in cui tutte le funzioni fn hanno valori in K è contenuto in un'ipersuperficie algebrica in Cd di grado al massimo {stile di visualizzazione d((d+1)rho [K:mathbb {Q} ]+1).} Waldschmidt (1979, teorema 5.1.1) diede una dimostrazione più semplice del teorema di Bombieri, con un limite leggermente più forte di d(p1 + ... + ρd+1)[K:Q] per la laurea, where the ρj are the orders of d + 1 funzioni algebricamente indipendenti. The special case d = 1 fornisce il teorema di Schneider-Lang, con un limite di (p1 + p2)[K:Q] per il numero di punti.

Example If {stile di visualizzazione p} è un polinomio con coefficienti interi quindi le funzioni {stile di visualizzazione z_{1},...,z_{n},e^{p(z_{1},...,z_{n})}} sono tutti algebrici in un denso insieme di punti dell'ipersuperficie {stile di visualizzazione p=0} .

Riferimenti Bombieri, Enrico (1970), "Valori algebrici di mappe meromorfiche", Scoperte matematiche, 10 (4): 267–287, doi:10.1007/BF01418775, ISSN 0020-9910, SIG 0306201 Bombieri, Enrico (1971), "Addendum al mio lavoro: "Valori algebrici di mappe meromorfiche" (Inventare. Matematica. 10 (1970), 267–287)", Scoperte matematiche, 11 (2): 163–166, doi:10.1007/BF01404610, ISSN 0020-9910, SIG 0322203 Bombieri, Enrico; Lang, Serge (1970), "Sottogruppi analitici di varietà di gruppo", Scoperte matematiche, 11: 1–14, doi:10.1007/BF01389801, ISSN 0020-9910, SIG 0296028 Lang, S. (1966), Introduzione ai numeri trascendentali, La società editrice Addison-Wesley Lelong, Piero (1971), "Valori algebrici di una mappa meromorfica (secondo E. Bombieri) esp. No. 384", Seminario Bourbaki, 23esimo anno (1970/1971), Appunti delle lezioni in matematica, vol. 244, Berlino, New York: Springer-Verlag, pp. 29–45, doi:10.1007/BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, SIG 0414500 Schneider, Teodoro (1949), "Un teorema sulle funzioni integrali come principio per le prove di trascendenza", Annali matematici, 121: 131–140, doi:10.1007/BF01329621, ISSN 0025-5831, SIG 0031498 Waldschmidt, Michele (1979), Numeri trascendenti e gruppi algebrici, Asterisco, vol. 69, Parigi: Categorie della società matematica francese: Approssimazione diofantea Numeri trascendentali