Théorème de Schneider-Lang

Théorème de Schneider – Lang En mathématiques, le théorème de Schneider-Lang est un raffinement de Lang (1966) d'un théorème de Schneider (1949) sur la transcendance des valeurs des fonctions méromorphes. Le théorème implique à la fois les théorèmes d'Hermite-Lindemann et de Gelfond-Schneider, et implique la transcendance de certaines valeurs de fonctions elliptiques et de fonctions modulaires elliptiques.

Contenu 1 Déclaration 2 Exemples 3 Preuve 4 Théorème de Bombieri 4.1 Exemple 5 References Statement Fix a number field K and meromorphic f1, ..., fN, dont au moins deux sont algébriquement indépendants et d'ordres ρ1 et ρ2, et tel que fj′ ∈ K[f1, ..., fN] pour tout j. Il y a alors au plus {style d'affichage (rho _{1}+rho _{2})[K:mathbb {Q} ],} nombres complexes distincts ω1, ..., ωm tel que fi(ωj) ∈ K pour toutes les combinaisons de i et j.

Exemples Si f1(z) = z and f2(z) = ez then the theorem implies the Hermite–Lindemann theorem that eα is transcendental for nonzero algebraic α: Par ailleurs, un, 2un, 3un, ... serait un nombre infini de valeurs auxquelles f1 et f2 sont algébriques. De même en prenant f1(z) = ez and f2(z) = eβz for β irrational algebraic implies the Gelfond–Schneider theorem that if α and αβ are algebraic, then α ∈ {0,1}: Par ailleurs, Journal(un), 2Journal(un), 3Journal(un), ... serait un nombre infini de valeurs auxquelles f1 et f2 sont algébriques. Rappelons que la fonction Weierstrass P satisfait l'équation différentielle {style d'affichage wp '(z)^{2}=4wc (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}.,} Prenant les trois fonctions pour être z, ℘(az), ℘′(az) montre que, pour tout α algébrique, si g2(un) et g3(un) sont algébriques, puis ℘(un) est transcendantal. Prenant les fonctions pour être z et e f(z) for a polynomial f of degree ρ shows that the number of points where the functions are all algebraic can grow linearly with the order ρ = deg f. Proof To prove the result Lang took two algebraically independent functions from f1, ..., fN, dire, f et g, puis créé une fonction auxiliaire F ∈ K[ F, g]. Utilisation du lemme de Siegel, il a ensuite montré que l'on pouvait supposer que F s'est évanoui à un ordre élevé au ω1, ..., ωm. Ainsi une dérivée d'ordre élevé de F prend une valeur de petite taille à un tel ωis, "Taille" se référant ici à une propriété algébrique d'un nombre. Utilisation du principe du module maximal, Lang a également trouvé une estimation distincte pour les valeurs absolues des dérivées de F. Les résultats standard relient la taille d'un nombre et sa valeur absolue, et les estimations combinées impliquent la limite revendiquée sur m.

Bombieri's theorem Bombieri & Lang (1970) et Bombieri (1970) généralisé le résultat aux fonctions de plusieurs variables. Bombieri showed that if K is an algebraic number field and f1, ..., fN are meromorphic functions of d complex variables of order at most ρ generating a field K(f1, ..., fN) of transcendence degree at least d + 1 qui est fermée sous toutes les dérivées partielles, alors l'ensemble des points où toutes les fonctions fn ont des valeurs dans K est contenu dans une hypersurface algébrique dans Cd de degré au plus {displaystyle d((j+1)Rho [K:mathbb {Q} ]+1).} Waldschmidt (1979, théorème 5.1.1) a donné une preuve plus simple du théorème de Bombieri, avec une borne légèrement plus forte de d(p1 + ... + ρd+1)[K:Q] pour le diplôme, where the ρj are the orders of d + 1 fonctions algébriquement indépendantes. The special case d = 1 donne le théorème de Schneider-Lang, avec un bond de (p1 + p2)[K:Q] pour le nombre de points.

Example If {style d'affichage p} est un polynôme à coefficients entiers alors les fonctions {style d'affichage z_{1},...,z_{n},e ^{p(z_{1},...,z_{n})}} sont tous algébriques en un ensemble dense de points de l'hypersurface {style d'affichage p=0} .

Références Bombieri, Henri (1970), "Valeurs algébriques des cartes méromorphes", Découvertes mathématiques, 10 (4): 267–287, est ce que je:10.1007/BF01418775, ISSN 0020-9910, M 0306201 Bombieri, Henri (1971), "Additif à mon article: "Valeurs algébriques des cartes méromorphes" (Inventer. Math. 10 (1970), 267–287)", Découvertes mathématiques, 11 (2): 163–166, est ce que je:10.1007/BF01404610, ISSN 0020-9910, M 0322203 Bombieri, Henri; Langue, Serge (1970), "Sous-groupes analytiques de variétés de groupe", Découvertes mathématiques, 11: 1–14, est ce que je:10.1007/BF01389801, ISSN 0020-9910, M 0296028 Langue, S. (1966), Introduction aux nombres transcendantaux, Addison-Wesley Publishing Company Lelong, Pierre (1971), "Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. Non. 384", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Notes de cours en mathématiques, volume. 244, Berlin, New York: Springer Verlag, pp. 29–45, est ce que je:10.1007/BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, M 0414500 Schneider, Théodore (1949), "Un théorème sur les fonctions intégrales comme principe pour les preuves de transcendance", Annales mathématiques, 121: 131–140, est ce que je:10.1007/BF01329621, ISSN 0025-5831, M 0031498 Waldschmidt, michel (1979), Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, volume. 69, Paris: Société Mathématique de France Categories: Approximation diophantienneNombres transcendantaux