Satz von Schneider-Lang

Satz von Schneider-Lang In der Mathematik, Das Schneider-Lang-Theorem ist eine Verfeinerung von Lang (1966) eines Satzes von Schneider (1949) über die Werttranszendenz meromorpher Funktionen. Der Satz impliziert sowohl den Hermite-Lindemann- als auch den Gelfond-Schneider-Satz, und impliziert die Transzendenz einiger Werte elliptischer Funktionen und elliptischer modularer Funktionen.

Inhalt 1 Aussage 2 Beispiele 3 Nachweisen 4 Satz von Bombieri 4.1 Beispiel 5 References Statement Fix a number field K and meromorphic f1, ..., fN, von denen mindestens zwei algebraisch unabhängig sind und die Ordnungen ρ1 und ρ2 haben, und so dass fj′ ∈ K[f1, ..., fN] für jedes j. Dann sind es höchstens {Anzeigestil (rho_{1}+rho_{2})[K:mathbb {Q} ],} verschiedene komplexe Zahlen ω1, ..., ωm so dass fi(ωj) ∈ K für alle Kombinationen von i und j.

Beispiele Wenn f1(z) = z and f2(z) = ez then the theorem implies the Hermite–Lindemann theorem that eα is transcendental for nonzero algebraic α: Andernfalls, a, 2a, 3a, ... wäre eine unendliche Anzahl von Werten, bei denen sowohl f1 als auch f2 algebraisch sind. Ebenso unter f1(z) = ez and f2(z) = eβz for β irrational algebraic implies the Gelfond–Schneider theorem that if α and αβ are algebraic, then α ∈ {0,1}: Andernfalls, Protokoll(a), 2Protokoll(a), 3Protokoll(a), ... wäre eine unendliche Anzahl von Werten, bei denen sowohl f1 als auch f2 algebraisch sind. Erinnern Sie sich, dass die P-Funktion von Weierstraß die Differentialgleichung erfüllt {Anzeigestil wp '(z)^{2}=4wp (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}.,} Nimmt man die drei Funktionen als z, ℘(az), ℘′(az) zeigt, dass, für jedes algebraische α, wenn g2(a) und g3(a) sind algebraisch, dann ℘(a) ist transzendental. Nehmen wir die Funktionen als z und e f(z) for a polynomial f of degree ρ shows that the number of points where the functions are all algebraic can grow linearly with the order ρ = deg f. Proof To prove the result Lang took two algebraically independent functions from f1, ..., fN, sagen, f und g, und dann eine Hilfsfunktion F ∈ K erstellt[ f, g]. Unter Verwendung von Siegels Lemma, er zeigte dann, dass man annehmen könnte, dass F bei ω1 auf eine höhere Ordnung verschwunden ist, ..., ωm. Somit nimmt eine Ableitung höherer Ordnung von F bei einem solchen ωis einen kleinen Wert an, "Größe" bezieht sich hier auf eine algebraische Eigenschaft einer Zahl. Nach dem Maximum-Modulus-Prinzip, Lang fand auch eine separate Schätzung für Absolutwerte von Derivaten von F. Standardergebnisse verbinden die Größe einer Zahl und ihren absoluten Wert, und die kombinierten Schätzungen implizieren die behauptete Schranke für m.

Bombieri's theorem Bombieri & Lang (1970) und Bombieri (1970) verallgemeinerte das Ergebnis auf Funktionen mehrerer Variablen. Bombieri showed that if K is an algebraic number field and f1, ..., fN are meromorphic functions of d complex variables of order at most ρ generating a field K(f1, ..., fN) of transcendence degree at least d + 1 die unter allen partiellen Ableitungen abgeschlossen ist, dann ist die Menge der Punkte, an denen alle Funktionen fn Werte in K haben, in einer algebraischen Hyperfläche in Cd von höchstens Grad enthalten {Anzeigestil d((d+1)rho [K:mathbb {Q} ]+1).} Waldschmidt (1979, Satz 5.1.1) gab einen einfacheren Beweis des Satzes von Bombieri, mit einer etwas stärkeren Grenze von d(p1 + ... + ρd+1)[K:Q] für den Abschluss, where the ρj are the orders of d + 1 algebraisch unabhängige Funktionen. The special case d = 1 ergibt den Satz von Schneider-Lang, mit einer Grenze von (p1 + p2)[K:Q] für die Punktzahl.

Example If {Anzeigestil p} ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten dann die Funktionen {Anzeigestil z_{1},...,z_{n},e^{p(z_{1},...,z_{n})}} sind alle algebraisch an einer dichten Menge von Punkten der Hyperfläche {Anzeigestil p=0} .

Referenzen Bombieri, Henry (1970), "Algebraische Werte meromorpher Abbildungen", Mathematische Entdeckungen, 10 (4): 267–287, doi:10.1007/BF01418775, ISSN 0020-9910, HERR 0306201 Bombieri, Henry (1971), "Nachtrag zu meiner Arbeit: "Algebraische Werte meromorpher Abbildungen" (Erfinden. Mathematik. 10 (1970), 267–287)", Mathematische Entdeckungen, 11 (2): 163–166, doi:10.1007/BF01404610, ISSN 0020-9910, HERR 0322203 Bombieri, Henry; Lang, Serge (1970), "Analytische Untergruppen von Gruppensorten", Mathematische Entdeckungen, 11: 1–14, doi:10.1007/BF01389801, ISSN 0020-9910, HERR 0296028 Lang, S. (1966), Einführung in die transzendenten Zahlen, Addison-Wesley Publishing Company Lelong, Pierre (1971), "Algebraische Werte einer meromorphen Abbildung (nach e. Bombieri) Erw. Nein. 384", Bourbaki-Seminar, 23Jahr (1970/1971), Vorlesungsnotizen in Math, vol. 244, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 29–45, doi:10.1007/BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, HERR 0414500 Schneider, Theodor (1949), "Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise", Mathematische Annalen, 121: 131–140, doi:10.1007/BF01329621, ISSN 0025-5831, HERR 0031498 Waldschmidt, Michel (1979), Transzendente Zahlen und algebraische Gruppen, Sternchen, vol. 69, Paris: Kategorien der Französischen Mathematischen Gesellschaft: Diophantische ApproximationTranszendente Zahlen