Teorema de Schilder

Teorema de Schilder Em matemática, O teorema de Schilder é resultado da teoria dos grandes desvios dos processos estocásticos. A grosso modo, O teorema de Schilder fornece uma estimativa para a probabilidade de que um (reduzido) caminho de amostra do movimento browniano se afastará do caminho médio (que é constante com valor 0). Esta declaração é feita com precisão usando funções de taxa. O teorema de Schilder é generalizado pelo teorema de Freidlin-Wentzell para difusões de Itō.

Statement Let B be a standard Brownian motion in d-dimensional Euclidean space Rd starting at the origin, 0 ∈ Rd; deixe W denotar a lei de B, ou seja. medida clássica de Wiener. For ε > 0, deixe Wε denotar a lei do processo reescalonado √εB. Então, on the Banach space C0 = C0([0, T]; Rd) de funções contínuas {estilo de exibição f:[0,T]seta longa para a direita mathbf {R} ^{d}} de tal modo que {estilo de exibição f(0)=0} , equipado com a norma suprema ||·||∞, the probability measures Wε satisfy the large deviations principle with good rate function I : C0 → R ∪ {+∞} dado por {estilo de exibição I(ómega )={fratura {1}{2}}int_{0}^{T}|{ponto {ómega }}(t)|^{2},matemática {d} t} se ω é absolutamente contínua, e eu(oh) = +∞ otherwise. Em outras palavras, for every open set G ⊆ C0 and every closed set F ⊆ C0, {displaystyle limsup _{seta para baixo varepsilon 0}varepsilon log mathbf {C} _{varepsilon }(F)leq -inf_{ômega em F}EU(ómega )} e {displaystyle liminf _{seta para baixo varepsilon 0}varepsilon log mathbf {C} _{varepsilon }(G)geq -inf_{ômega em G}EU(ómega ).} Example Taking ε = 1/c2, pode-se usar o teorema de Schilder para obter estimativas para a probabilidade de que um movimento browniano padrão B se afaste mais do que c de seu ponto inicial ao longo do intervalo de tempo [0, T], ou seja. a probabilidade {estilo de exibição mathbf {C} (C_{0}smallsetminus mathbf {B} _{c}(0;|cdot |_{infty }))equiv mathbf {P} {grande [}|B|_{infty }>c{grande ]},} como c tende ao infinito. Aqui BC(0; ||·||∞) denota a bola aberta de raio c em torno da função zero em C0, tomadas com respeito à norma suprema. Primeiro note que {estilo de exibição |B|_{infty }>ciff {quadrado {varepsilon }}Mil A:= esquerda{ômega em C_{0}meio |ómega (t)|>1{texto{ para alguns }}lata [0,T]certo}.} Como a função taxa é contínua em A, O teorema de Schilder produz {estilo de exibição {começar{alinhado}lim_{cto infty }{fratura {log à esquerda(mathbf {P} deixei[|B|_{infty }>cright]certo)}{c^{2}}}&=lim _{varepsilon para 0}log de varepsilon à esquerda(mathbf {P} deixei[{quadrado {varepsilon }}Bin Aright]certo)\[6pt]&=-inf left{deixei.{fratura {1}{2}}int_{0}^{T}|{ponto {ómega }}(t)|^{2},matemática {d} t,certo|,ômega em certo}\[6pt]&=-{fratura {1}{2}}int_{0}^{T}{fratura {1}{T^{2}}},matemática {d} t[6pt]&=-{fratura {1}{2T}},fim{alinhado}}} fazendo uso do fato de que o ínfimo sobre os caminhos na coleção A é obtido para ω(t) = t / T . Este resultado pode ser heuristicamente interpretado como dizendo que, para grande c e/ou grande T {estilo de exibição {fratura {log à esquerda(mathbf {P} deixei[|B|_{infty }>cright]certo)}{c^{2}}}Aproximadamente -{fratura {1}{2T}}qquad {texto{ou}}qquad mathbf {P} deixei[|B|_{infty }>cright]aprox exp restante(-{fratura {c^{2}}{2T}}certo).} Na verdade, a probabilidade acima pode ser estimada com mais precisão: para B um movimento browniano padrão em Rn, e qualquer T, c and ε > 0, temos: {estilo de exibição mathbf {P} deixei[e aí _{0leq tleq T}deixei|{quadrado {varepsilon }}B_{t}certo|geq certo]leq 4nexp à esquerda(-{fratura {c^{2}}{2nTvarepsilon }}certo).} Referências Dembo, emir; Zeitouny, Oferta (1998). Técnicas e aplicações de grandes desvios. Aplicações da Matemática (Nova york) 38 (Second ed.). Nova york: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. SENHOR 1619036. (Ver teorema 5.2) Categorias: Análise assintóticaTeoremas sobre processos estocásticosTeoria dos grandes desvios