Il teorema di Schilder

Il teorema di Schilder In matematica, Il teorema di Schilder è un risultato della teoria delle grandi deviazioni dei processi stocastici. In parole povere, Il teorema di Schilder fornisce una stima della probabilità che a (ridimensionato) il percorso del campione del moto browniano si allontanerà dal percorso medio (che è costante con valore 0). Questa affermazione è resa precisa utilizzando le funzioni di tasso. Il teorema di Schilder è generalizzato dal teorema di Freidlin-Wentzell per le diffusioni di Itō.

Statement Let B be a standard Brownian motion in d-dimensional Euclidean space Rd starting at the origin, 0 ∈ Rd; sia W la legge di B, cioè. classica misura Wiener. For ε > 0, sia Wε la legge del processo riscalato √εB. Quindi, on the Banach space C0 = C0([0, T]; Rd) di funzioni continue {stile di visualizzazione f:[0,T]longrightarrow mathbf {R} ^{d}} tale che {stile di visualizzazione f(0)=0} , dotato della norma suprema ||·||∞, the probability measures Wε satisfy the large deviations principle with good rate function I : C0 → R ∪ {+∞} dato da {stile di visualizzazione I(omega )={frac {1}{2}}int _{0}^{T}|{punto {omega }}(t)|^{2},matematica {d} t} se ω è assolutamente continua, e io(oh) = +∞ otherwise. In altre parole, for every open set G ⊆ C0 and every closed set F ⊆ C0, {displaystyle limsup _{varepsilon freccia in basso 0}varepsilon log mathbf {w} _{varepsilon }(F)leq -inf _{omega in f}io(omega )} e {displaystyle liminf _{varepsilon freccia in basso 0}varepsilon log mathbf {w} _{varepsilon }(G)geq -inf _{omega in g}io(omega ).} Example Taking ε = 1/c2, si può usare il teorema di Schilder per ottenere stime per la probabilità che un moto browniano standard B si allontani più di c dal suo punto di partenza nell'intervallo di tempo [0, T], cioè. la probabilità {displaystyle mathbf {w} (C_{0}smallsetminus mathbf {B} _{c}(0;|cdot |_{infty }))equiv mathbf {P} {grande [}|B|_{infty }>c{grande ]},} poiché c tende all'infinito. Qui aC(0; ||·||∞) denota la palla aperta di raggio c attorno alla funzione zero in C0, presa nel rispetto della norma suprema. Prima nota che {stile di visualizzazione |B|_{infty }>ciff {mq {varepsilon }}Mille A:= sinistra{omega in C_{0}metà |omega (t)|>1{testo{ per alcuni }}lattina [0,T]Giusto}.} Poiché la funzione di frequenza è continua su A, Il teorema di Schilder produce {stile di visualizzazione {inizio{allineato}lim _{cto infty }{frac {registro a sinistra(mathbf {P} sinistra[|B|_{infty }>cright]Giusto)}{c^{2}}}&=lim _{varepsilon a 0}registro di varepsilon a sinistra(mathbf {P} sinistra[{mq {varepsilon }}Bin Va bene]Giusto)\[6pt]&=-inf left{sinistra.{frac {1}{2}}int _{0}^{T}|{punto {omega }}(t)|^{2},matematica {d} t,Giusto|,omega a destra}\[6pt]&=-{frac {1}{2}}int _{0}^{T}{frac {1}{T^{2}}},matematica {d} t[6pt]&=-{frac {1}{2T}},fine{allineato}}} sfruttando il fatto che l'infimum over cam nella raccolta A è raggiunto per ω(t) = t / T . Questo risultato può essere interpretato euristicamente come detto, per grande c e/o grande T {stile di visualizzazione {frac {registro a sinistra(mathbf {P} sinistra[|B|_{infty }>cright]Giusto)}{c^{2}}}ca -{frac {1}{2T}}qquad {testo{o}}qquad mathbf {P} sinistra[|B|_{infty }>cright]circa exp a sinistra(-{frac {c^{2}}{2T}}Giusto).} Infatti, la probabilità di cui sopra può essere stimata più precisamente: per B un moto browniano standard in Rn, e qualsiasi T, c and ε > 0, noi abbiamo: {displaystyle mathbf {P} sinistra[sup _{0leq tleq T}sinistra|{mq {varepsilon }}B_{t}Giusto|geq giusto]leq 4nexp a sinistra(-{frac {c^{2}}{2nTvarepsilon }}Giusto).} Riferimenti Dembo, Emiro; Zeitouny, Ofer (1998). Tecniche e applicazioni di grandi deviazioni. Applicazioni della matematica (New York) 38 (Seconda ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. SIG 1619036. (Vedi teorema 5.2) Categorie: Analisi asintotica Teoremi sui processi stocastici Teoria delle grandi deviazioni