Théorème de Schilder

Théorème de Schilder En mathématiques, Le théorème de Schilder est un résultat de la théorie des grandes déviations des processus stochastiques. Grosso modo, Le théorème de Schilder donne une estimation de la probabilité qu'un (réduite) le chemin d'échantillonnage du mouvement brownien s'éloignera du chemin moyen (qui est constant avec la valeur 0). Cette déclaration est précisée à l'aide de fonctions de taux. Le théorème de Schilder est généralisé par le théorème de Freidlin-Wentzell pour les diffusions Itō.

Statement Let B be a standard Brownian motion in d-dimensional Euclidean space Rd starting at the origin, 0 ∈ Rd; soit W la loi de B, c'est à dire. mesure de Wiener classique. For ε > 0, soit Wε la loi du processus redimensionné √εB. Alors, on the Banach space C0 = C0([0, J]; chemin) de fonctions continues {style d'affichage f:[0,J]longrightarrow mathbf {R} ^{ré}} tel que {style d'affichage f(0)=0} , équipé de la norme supremum ||·||∞, the probability measures Wε satisfy the large deviations principle with good rate function I : C0 → R ∪ {+∞} donné par {style d'affichage I(oméga )={frac {1}{2}}entier _{0}^{J}|{point {oméga }}(t)|^{2},mathrm {ré} t} si ω est absolument continue, et moi(oh) = +∞ otherwise. Autrement dit, for every open set G ⊆ C0 and every closed set F ⊆ C0, {style d'affichage limsup _{varepsilon vers le bas 0}journal varepsilon mathbf {O} _{varepsilon }(F)leq -inf _{oméga en F}je(oméga )} et {style d'affichage limite _{varepsilon vers le bas 0}journal varepsilon mathbf {O} _{varepsilon }(g)geq -inf _{oméga en G}je(oméga ).} Example Taking ε = 1/c2, on peut utiliser le théorème de Schilder pour obtenir des estimations de la probabilité qu'un mouvement brownien standard B s'écarte plus que c de son point de départ sur l'intervalle de temps [0, J], c'est à dire. la probabilite {style d'affichage mathbf {O} (C_{0}petitensemblemoins mathbf {B} _{c}(0;|cdot |_{infime }))mathbf équiv {P} {gros [}|B|_{infime }>c{gros ]},} quand c tend vers l'infini. Ici avant JC(0; ||·||∞) désigne la boule ouverte de rayon c autour de la fonction zéro en C0, pris par rapport à la norme suprême. A noter d'abord que {style d'affichage |B|_{infime }>ciff {sqrt {varepsilon }}Mille A:=gauche{oméga en C_{0}milieu |oméga (t)|>1{texte{ pour certains }}étain [0,J]droit}.} Puisque la fonction de taux est continue sur A, Le théorème de Schilder donne {style d'affichage {commencer{aligné}lim _{cto infty }{frac {bûche à gauche(mathbf {P} la gauche[|B|_{infime }>cright]droit)}{c^{2}}}&=lim _{varepsilon à 0}journal varepsilon gauche(mathbf {P} la gauche[{sqrt {varepsilon }}Bien droit]droit)\[6pt]&=-inf left{la gauche.{frac {1}{2}}entier _{0}^{J}|{point {oméga }}(t)|^{2},mathrm {ré} t,droit|,oméga dans Aright}\[6pt]&=-{frac {1}{2}}entier _{0}^{J}{frac {1}{T^{2}}},mathrm {ré} t[6pt]&=-{frac {1}{2J}},fin{aligné}}} en utilisant le fait que l'infimum sur les chemins dans la collection A est atteint pour ω(t) = t / J . Ce résultat peut être interprété heuristiquement comme disant que, pour grand c et/ou grand T {style d'affichage {frac {bûche à gauche(mathbf {P} la gauche[|B|_{infime }>cright]droit)}{c^{2}}}environ -{frac {1}{2J}}qquad {texte{ou}}qquad mathbf {P} la gauche[|B|_{infime }>cright]environ exp à gauche(-{frac {c^{2}}{2J}}droit).} En réalité, la probabilité ci-dessus peut être estimée plus précisément: pour B un mouvement brownien standard dans Rn, et tout T, c and ε > 0, Nous avons: {style d'affichage mathbf {P} la gauche[souper _{0leq tleq T}la gauche|{sqrt {varepsilon }}B_{t}droit|geq à droite]leq 4nexp gauche(-{frac {c^{2}}{2nTvarepsilon }}droit).} Références Dembo, Émir; Zeitouny, Offre (1998). Techniques et applications des grandes déviations. Applications des mathématiques (New York) 38 (Deuxième éd.). New York: Springer Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. M 1619036. (Voir théorème 5.2) Catégories: Analyse asymptotiqueThéorèmes concernant les processus stochastiquesThéorie des grandes déviations