Schilders Theorem

Der Satz von Schilder in der Mathematik, Der Satz von Schilder ist ein Ergebnis der Theorie der großen Abweichungen stochastischer Prozesse. Grob gesprochen, Der Satz von Schilder gibt einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass a (verkleinert) Der Probenpfad der Brownschen Bewegung weicht weit vom mittleren Pfad ab (die mit dem Wert konstant ist 0). Diese Aussage wird durch Ratenfunktionen präzisiert. Der Satz von Schilder wird durch den Satz von Freidlin-Wentzell für Itō-Diffusionen verallgemeinert.

Statement Let B be a standard Brownian motion in d-dimensional Euclidean space Rd starting at the origin, 0 ∈ Rd; sei W das Gesetz von B, d.h. klassisches Wiener Maß. For ε > 0, sei Wε das Gesetz des umskalierten Prozesses √εB. Dann, on the Banach space C0 = C0([0, T]; Rd) von stetigen Funktionen {Anzeigestil f:[0,T]longrightarrow mathbf {R} ^{d}} so dass {Anzeigestil f(0)=0} , ausgestattet mit der höchsten Norm ||·||∞, the probability measures Wε satisfy the large deviations principle with good rate function I : C0 → R ∪ {+∞} gegeben von {Anzeigestil I(Omega )={frac {1}{2}}int _{0}^{T}|{Punkt {Omega }}(t)|^{2},Mathrm {d} t} wenn ω absolut stetig ist, und ich(oh) = +∞ otherwise. Mit anderen Worten, for every open set G ⊆ C0 and every closed set F ⊆ C0, {displaystyle limsup _{varepsilon Pfeil nach unten 0}Varepsilon-Protokoll mathbf {W} _{varepsilon }(F)leq -inf _{Omega in F}ich(Omega )} und {Anzeigestil liminf _{varepsilon Pfeil nach unten 0}Varepsilon-Protokoll mathbf {W} _{varepsilon }(G)geq -inf _{Omega in G}ich(Omega ).} Example Taking ε = 1/c2, man kann den Satz von Schilder verwenden, um Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass eine standardmäßige Brownsche Bewegung B über das Zeitintervall weiter als c von ihrem Startpunkt abweicht [0, T], d.h. Die Wahrscheinlichkeit {Anzeigestil mathbf {W} (C_{0}smallsetminus mathbf {B} _{c}(0;|cdot |_{unendlich }))Äquiv. mathbf {P} {groß [}|B|_{unendlich }>c{groß ]},} da c gegen unendlich geht. Hier BC(0; ||·||∞) bezeichnet die offene Kugel mit Radius c um die Nullfunktion in C0, in Bezug auf die höchste Norm genommen. Notieren Sie sich das zunächst {Anzeigestil |B|_{unendlich }>ciff {quadrat {varepsilon }}Tausend A:=links{Omega in C_{0}Mitte |Omega (t)|>1{Text{ für einige }}Zinn [0,T]Rechts}.} Da die Ratenfunktion auf A stetig ist, Der Satz von Schilder liefert {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}lim _{cto infty }{frac {Protokoll übrig(mathbf {P} links[|B|_{unendlich }>cright]Rechts)}{c^{2}}}&=lim _{varepsilon zu 0}Varepsilon-Protokoll links(mathbf {P} links[{quadrat {varepsilon }}Bin richtig]Rechts)\[6Punkt]&=-inf left{links.{frac {1}{2}}int _{0}^{T}|{Punkt {Omega }}(t)|^{2},Mathrm {d} t,Rechts|,Omega in Ordnung}\[6Punkt]&=-{frac {1}{2}}int _{0}^{T}{frac {1}{T^{2}}},Mathrm {d} t[6Punkt]&=-{frac {1}{2T}},Ende{ausgerichtet}}} unter Ausnutzung der Tatsache, dass das Infimum über Pfade in der Sammlung A für ω erreicht wird(t) = t / T . Dieses Ergebnis kann heuristisch so interpretiert werden, für großes c und/oder großes T {Anzeigestil {frac {Protokoll übrig(mathbf {P} links[|B|_{unendlich }>cright]Rechts)}{c^{2}}}ca -{frac {1}{2T}}Quad {Text{oder}}qquad mathbf {P} links[|B|_{unendlich }>cright]ca. exp übrig(-{frac {c^{2}}{2T}}Rechts).} In der Tat, obige Wahrscheinlichkeit genauer abgeschätzt werden kann: für B eine Brownsche Standardbewegung im Rn, und irgendein T, c and ε > 0, wir haben: {Anzeigestil mathbf {P} links[sup _{0leq tleq T}links|{quadrat {varepsilon }}B_{t}Rechts|geq richtig]leq 4nexp links(-{frac {c^{2}}{2nTvarepsilon }}Rechts).} Referenzen Dembo, Amir; Zeitouny, Ofer (1998). Große Abweichungen Techniken und Anwendungen. Anwendungen der Mathematik (New York) 38 (Zweite Aufl.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. HERR 1619036. (Siehe Satz 5.2) Kategorien: Asymptotische AnalyseTheoreme über stochastische ProzesseTheorie großer Abweichungen