Théorème du point fixe de Schauder

Théorème du point fixe de Schauder Le théorème du point fixe de Schauder est une extension du théorème du point fixe de Brouwer aux espaces vectoriels topologiques, qui peut être de dimension infinie. Il affirme que si {style d'affichage K} est un sous-ensemble fermé convexe non vide d'un espace vectoriel topologique de Hausdorff {style d'affichage V} et {style d'affichage T} est une cartographie continue de {style d'affichage K} en lui-même tel que {style d'affichage T(K)} est contenu dans un sous-ensemble compact de {style d'affichage K} , alors {style d'affichage T} a un point fixe.

Une conséquence, appelé théorème du point fixe de Schaefer, est particulièrement utile pour prouver l'existence de solutions aux équations aux dérivées partielles non linéaires. Le théorème de Schaefer est en fait un cas particulier du théorème de grande portée de Leray-Schauder qui a été prouvé plus tôt par Juliusz Schauder et Jean Leray. L'énoncé est le suivant: Laisser {style d'affichage T} être une cartographie continue et compacte d'un espace de Banach {style d'affichage X} en soi, telle que l'ensemble {style d'affichage {xin X_x=lambda Tx{mbox{ pour certains }}0leq lambda leq 1}} est délimité. Alors {style d'affichage T} a un point fixe.

Contenu 1 Histoire 2 Voir également 3 Références 4 Liens externes Histoire Le théorème a été conjecturé et prouvé pour des cas particuliers, tels que les espaces de Banach, par Juliusz Schauder dans 1930. Sa conjecture pour le cas général a été publiée dans le livre écossais. Dans 1934, Tychonoff a prouvé le théorème pour le cas où K est un sous-ensemble convexe compact d'un espace localement convexe. Cette version est connue sous le nom de théorème du point fixe de Schauder-Tychonoff. B. V. Singbal a prouvé le théorème pour le cas plus général où K peut être non compact; la preuve peut être trouvée dans l'annexe du livre de Bonsall (voir les références).

Voir aussi Théorèmes du point fixe Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Kakutani Références J. frémir, Le théorème du point fixe dans les espaces fonctionnels, Mathématiques. 2 (1930), 171–180 A. Tychonoff, Un théorème de point fixe, Annales mathématiques 111 (1935), 767–776 F. F. Bonsall, Cours sur quelques théorèmes de point fixe d'analyse fonctionnelle, Bombay 1962 ré. Gilbarg, N. Trudinger, Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre. ISBN 3-540-41160-7. E. Zeidler, Analyse fonctionnelle non linéaire et ses applications, je - Théorèmes du point fixe Liens externes "Théorème de frisson", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS, 2001 [1994] "Théorème du point fixe de Schauder". PlanèteMath. avec justificatif joint (pour le cas spatial de Banach). show vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) show vte Espaces vectoriels topologiques (téléviseurs) afficher les catégories de contrôle d'autorité: Théorèmes du point fixeThéorèmes en analyse fonctionnelleEspaces vectoriels topologiques

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