Fixpunktsatz von Schauder

Fixpunktsatz von Schauder Der Fixpunktsatz von Schauder ist eine Erweiterung des Fixpunktsatzes von Brouwer auf topologische Vektorräume, die unendlich groß sein kann. Es behauptet, wenn {Anzeigestil K} ist eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Hausdorff-Vektorraums {Anzeigestil V} und {Anzeigestil T} ist eine kontinuierliche Abbildung von {Anzeigestil K} in sich so dass {Anzeigestil T(K)} ist in einer kompakten Teilmenge von enthalten {Anzeigestil K} , dann {Anzeigestil T} hat einen Fixpunkt.

Eine Konsequenz, wird als Fixpunktsatz von Schäfer bezeichnet, ist besonders nützlich, um die Existenz von Lösungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen zu beweisen. Der Satz von Schaefer ist in der Tat ein Sonderfall des weitreichenden Leray-Schauder-Satzes, der früher von Juliusz Schauder und Jean Leray bewiesen wurde. Die Erklärung lautet wie folgt: Lassen {Anzeigestil T} sei eine stetige und kompakte Abbildung eines Banachraums {Anzeigestil X} in sich, so dass der Satz {Anzeigestil {xin X_x = Lambda Tx{mbox{ für einige }}0leq Lambda leq 1}} ist begrenzt. Dann {Anzeigestil T} hat einen Fixpunkt.

Inhalt 1 Geschichte 2 Siehe auch 3 Verweise 4 External links History The theorem was conjectured and proven for special cases, wie Banachräume, von Juliusz Schauder in 1930. Seine Vermutung für den allgemeinen Fall wurde im schottischen Buch veröffentlicht. Im 1934, Tychonoff bewies den Satz für den Fall, dass K eine kompakte konvexe Teilmenge eines lokal konvexen Raums ist. Diese Version ist als Fixpunktsatz von Schauder-Tychonoff bekannt. B. v. Singbal bewies den Satz für den allgemeineren Fall, in dem K nicht kompakt sein kann; der Beweis findet sich im Anhang von Bonsalls Buch (siehe Referenzen).

Siehe auch Fixpunktsätze Banach-Fixpunktsatz Kakutani-Fixpunktsatz Referenzen J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studium Math. 2 (1930), 171–180 A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz, Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776 F. F. Bonsal, Vorlesungen über einige Fixpunktsätze der Funktionalanalysis, Bombay 1962 D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. ISBN 3-540-41160-7. E. Zeidler, Nichtlineare Funktionsanalyse und ihre Anwendungen, ich - Fixpunktsätze Externe Links "Schauder theorem", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] "Fixpunktsatz von Schauder". PlanetMath. mit beigefügtem Nachweis (für den Banach-Weltraumfall). show vte Functional analysis (Themen – Glossar) show vte Topologische Vektorräume (Fernseher) Autoritätssteuerungskategorien anzeigen: FixpunktsätzeTheoreme der FunktionalanalysisTopologische Vektorräume