Removable singularity

Removable singularity (Redirected from Riemann's theorem on removable singularities) Jump to navigation Jump to search This article needs additional citations for verification. Aiutaci a migliorare questo articolo aggiungendo citazioni a fonti affidabili. Il materiale non fornito può essere contestato e rimosso. Trova fonti: "Removable singularity" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (Luglio 2021) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) A graph of a parabola with a removable singularity at x = 2 Nell'analisi complessa, a removable singularity of a holomorphic function is a point at which the function is undefined, but it is possible to redefine the function at that point in such a way that the resulting function is regular in a neighbourhood of that point.

Per esempio, il (unnormalized) sinc function {stile di visualizzazione {testo{sinc}}(z)={frac {sin z}{z}}} has a singularity at z = 0. This singularity can be removed by defining {stile di visualizzazione {testo{sinc}}(0):=1,} which is the limit of sinc as z tends to 0. The resulting function is holomorphic. In this case the problem was caused by sinc being given an indeterminate form. Taking a power series expansion for {stile di testo {frac {peccato(z)}{z}}} around the singular point shows that {stile di visualizzazione {testo{sinc}}(z)={frac {1}{z}}sinistra(somma _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{K}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}Giusto)=somma _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{K}z^{2K}}{(2k+1)!}}=1-{frac {z^{2}}{3!}}+{frac {z^{4}}{5!}}-{frac {z^{6}}{7!}}+cdot .} Formalmente, Se {displaystyle Usubset mathbb {C} } is an open subset of the complex plane {displaystyle mathbb {C} } , {displaystyle ain U} a point of {stile di visualizzazione U} , e {stile di visualizzazione f:Usetminus {un}rightarrow mathbb {C} } is a holomorphic function, poi {stile di visualizzazione a} is called a removable singularity for {stile di visualizzazione f} if there exists a holomorphic function {stile di visualizzazione g:Urightarrow mathbb {C} } which coincides with {stile di visualizzazione f} Su {displaystyle Usetminus {un}} . We say {stile di visualizzazione f} is holomorphically extendable over {stile di visualizzazione U} if such a {stile di visualizzazione g} esiste.

Contenuti 1 Riemann's theorem 2 Other kinds of singularities 3 Guarda anche 4 External links Riemann's theorem Riemann's theorem on removable singularities is as follows: Theorem — Let {displaystyle Dsubset mathbb {C} } be an open subset of the complex plane, {displaystyle ain D} a point of {stile di visualizzazione D} e {stile di visualizzazione f} a holomorphic function defined on the set {displaystyle Dsetminus {un}} . The following are equivalent: {stile di visualizzazione f} is holomorphically extendable over {stile di visualizzazione a} . {stile di visualizzazione f} is continuously extendable over {stile di visualizzazione a} . There exists a neighborhood of {stile di visualizzazione a} on which {stile di visualizzazione f} è delimitato. {displaystyle lim _{zto a}(z-a)f(z)=0} .

The implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 are trivial. To prove 4 ⇒ 1, we first recall that the holomorphy of a function at {stile di visualizzazione a} is equivalent to it being analytic at {stile di visualizzazione a} (prova), cioè. having a power series representation. Definire {stile di visualizzazione h(z)={inizio{casi}(z-a)^{2}f(z)&zneq a,\0&z=a.end{casi}}} Chiaramente, h is holomorphic on {displaystyle Dsetminus {un}} , and there exists {stile di visualizzazione h'(un)=lim _{zto a}{frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=lim _{zto a}(z-a)f(z)=0} di 4, hence h is holomorphic on D and has a Taylor series about a: {stile di visualizzazione h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+cdot ,.} We have c0 = h(un) = 0 and c1 = h'(un) = 0; dunque {stile di visualizzazione h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+cdot ,.} Quindi, where z ≠ a, noi abbiamo: {stile di visualizzazione f(z)={frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+cdot ,.} Tuttavia, {stile di visualizzazione g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+cdot ,.} is holomorphic on D, thus an extension of f.

Other kinds of singularities Unlike functions of a real variable, holomorphic functions are sufficiently rigid that their isolated singularities can be completely classified. A holomorphic function's singularity is either not really a singularity at all, cioè. a removable singularity, or one of the following two types: In light of Riemann's theorem, given a non-removable singularity, one might ask whether there exists a natural number {stile di visualizzazione m} tale che {displaystyle lim _{zrightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0} . If so, {stile di visualizzazione a} is called a pole of {stile di visualizzazione f} and the smallest such {stile di visualizzazione m} is the order of {stile di visualizzazione a} . So removable singularities are precisely the poles of order 0. A holomorphic function blows up uniformly near its other poles. If an isolated singularity {stile di visualizzazione a} di {stile di visualizzazione f} is neither removable nor a pole, it is called an essential singularity. The Great Picard Theorem shows that such an {stile di visualizzazione f} maps every punctured open neighborhood {displaystyle Usetminus {un}} to the entire complex plane, with the possible exception of at most one point. See also Analytic capacity Removable discontinuity External links Removable singular point at Encyclopedia of Mathematics Categories: Analytic functionsMeromorphic functionsBernhard Riemann