Rank–nullity theorem

Rank–nullity theorem "Rank theorem" redireciona aqui. For the rank theorem of multivariable calculus, see constant rank theorem. This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: see talk:Rank–nullity theorem#Terminology. Please help improve this article if you can. (abril 2022) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) Rank–nullity theorem The rank–nullity theorem is a theorem in linear algebra, which asserts that the dimension of the domain of a linear map is the sum of its rank (the dimension of its image) and its nullity (the dimension of its kernel).[1][2][3][4] Conteúdo 1 Stating the theorem 1.1 Matrizes 2 Provas 2.1 Primeira prova 2.2 Segunda prova 3 Reformulations and generalizations 4 Citações 5 References Stating the theorem Let {estilo de exibição T:Vto W} be a linear transformation between two vector spaces where {estilo de exibição T} 's domain {estilo de exibição V} is finite dimensional. Então {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (T)~+~operatorname {Nullity} (T)~=~dim V,} Onde {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (T)~:=~dim(nome do operador {Image} (T))qquad {texto{ e }}qquad operatorname {Nullity} (T)~:=~dim(nome do operador {Ker} (T)).} Em outras palavras, {estilo de exibição escurecer(nome do operador {Eu estou} T)+dim(ker T)=dim(nome do operador {domain} T).} This theorem can be refined via the splitting lemma to be a statement about an isomorphism of spaces, not just dimensions. Explicitamente, since T induces an isomorphism from {displaystyle V/operatorname {Ker} (T)} para {nome do operador de estilo de exibição {Image} (T),} the existence of a basis for V that extends any given basis of {nome do operador de estilo de exibição {Ker} (T)} implica, via the splitting lemma, este {nome do operador de estilo de exibição {Image} (T)oplus operatorname {Ker} (T)cong V.} Taking dimensions, the rank–nullity theorem follows.

Matrices Since {nome do operador de estilo de exibição {Esteira} _{mtimes n}(mathbb {F} )cong operatorname {Hom} deixei(mathbb {F} ^{n},mathbb {F} ^{m}certo),} [5] matrices immediately come to mind when discussing linear maps. In the case of an {displaystyle mtimes n} matriz, the dimension of the domain is {estilo de exibição m,} the number of columns in the matrix. Thus the rank–nullity theorem for a given matrix {displaystyle Min operatorname {Esteira} _{mtimes n}(mathbb {F} )} immediately becomes {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (M)+nome do operador {Nullity} (M)=n.} Proofs Here we provide two proofs. The first[2] operates in the general case, using linear maps. The second proof[6] looks at the homogeneous system {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} } por {estilo de exibição mathbf {UMA} in operatorname {Esteira} _{mtimes n}(mathbb {F} )} with rank {estilo de exibição r} and shows explicitly that there exists a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions that span the kernel of {estilo de exibição mathbf {UMA} } .

While the theorem requires that the domain of the linear map be finite-dimensional, there is no such assumption on the codomain. This means that there are linear maps not given by matrices for which the theorem applies. Despite this, the first proof is not actually more general than the second: since the image of the linear map is finite-dimensional, we can represent the map from its domain to its image by a matrix, prove the theorem for that matrix, then compose with the inclusion of the image into the full codomain.

First proof Let {estilo de exibição V,C} be vector spaces over some field {estilo de exibição mathbb {F} } e {estilo de exibição T} defined as in the statement of the theorem with {displaystyle dim V=n} .

Como {nome do operador de estilo de exibição {Ker} Tsubset V} é um subespaço, there exists a basis for it. Suponha {displaystyle dim operatorname {Ker} T=k} e deixar {estilo de exibição {matemática {K}}:={v_{1},ldots ,v_{k}}nome do operador do subconjunto {Ker} (T)} be such a basis.

We may now, by the Steinitz exchange lemma, extend {estilo de exibição {matemática {K}}} com {displaystyle n-k} linearly independent vectors {displaystyle w_{1},ldots ,W_{n-k}} to form a full basis of {estilo de exibição V} .

Deixar {estilo de exibição {matemática {S}}:={W_{1},ldots ,W_{n-k}}subset Vsetminus operatorname {Ker} (T)} de tal modo que {estilo de exibição {matemática {B}}:={matemática {K}}copo {matemática {S}}={v_{1},ldots ,v_{k},W_{1},ldots ,W_{n-k}}subset V} is a basis for {estilo de exibição V} . A partir disso, we know that {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T=operatorname {Span} T({matemática {B}})=nome do operador {Span} {T(v_{1}),ldots ,T(v_{k}),T(W_{1}),ldots ,T(W_{n-k})}=nome do operador {Span} {T(W_{1}),ldots ,T(W_{n-k})}=nome do operador {Span} T({matemática {S}}).} We now claim that {estilo de exibição T({matemática {S}})} is a basis for {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T} . The above equality already states that {estilo de exibição T({matemática {S}})} is a generating set for {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T} ; it remains to be shown that it is also linearly independent to conclude that it is a basis.

Suponha {estilo de exibição T({matemática {S}})} is not linearly independent, e deixar {soma de estilo de exibição _{j=1}^{n-k}alfa _{j}T(W_{j})=0_{C}} para alguns {alfa de estilo de exibição _{j}em matemática {F} } .

Desta forma, owing to the linearity of {estilo de exibição T} , segue que {displaystyle Tleft(soma _{j=1}^{n-k}alfa _{j}W_{j}certo)=0_{C}implies left(soma _{j=1}^{n-k}alfa _{j}W_{j}certo)in operatorname {Ker} T=operatorname {Span} {matemática {K}}subset V.} This is a contradiction to {estilo de exibição {matemática {B}}} being a basis, unless all {alfa de estilo de exibição _{j}} are equal to zero. This shows that {estilo de exibição T({matemática {S}})} is linearly independent, and more specifically that it is a basis for {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T} .

To summarize, temos {estilo de exibição {matemática {K}}} , a basis for {nome do operador de estilo de exibição {Ker} T} , e {estilo de exibição T({matemática {S}})} , a basis for {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T} .

Finally we may state that {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (T)+nome do operador {Nullity} (T)=dim operatorname {Eu estou} T+dim operatorname {Ker} T=|T({matemática {S}})|+|{matemática {K}}|=(n-k)+k=n=dim V.} This concludes our proof.

Second proof Let {estilo de exibição mathbf {UMA} in operatorname {Esteira} _{mtimes n}(mathbb {F} )} com {estilo de exibição r} linearly independent columns (ou seja. {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (mathbf {UMA} )=r} ). Nós vamos mostrar que: There exists a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions to the homogeneous system {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} } . That every other solution is a linear combination of these {displaystyle n-r} solutions.

Para fazer isso, we will produce a matrix {estilo de exibição mathbf {X} in operatorname {Esteira} _{ntimes (n-r)}(mathbb {F} )} whose columns form a basis of the null space of {estilo de exibição mathbf {UMA} } .

Sem perda de generalidade, assume that the first {estilo de exibição r} columns of {estilo de exibição mathbf {UMA} } are linearly independent. Então, nós podemos escrever {estilo de exibição mathbf {UMA} ={começar{pmatrix}mathbf {UMA} _{1}&mathbf {UMA} _{2}fim{pmatrix}},} Onde {estilo de exibição mathbf {UMA} _{1}in operatorname {Esteira} _{mtimes r}(mathbb {F} )} com {estilo de exibição r} linearly independent column vectors, e {estilo de exibição mathbf {UMA} _{2}in operatorname {Esteira} _{mtimes (n-r)}(mathbb {F} )} , each of whose {displaystyle n-r} columns are linear combinations of the columns of {estilo de exibição mathbf {UMA} _{1}} .

Isso significa que {estilo de exibição mathbf {UMA} _{2}= mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} } para alguns {estilo de exibição mathbf {B} in operatorname {Esteira} _{rtimes (n-r)}} (see rank factorization) e, por isso, {estilo de exibição mathbf {UMA} ={começar{pmatrix}mathbf {UMA} _{1}&mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} fim{pmatrix}}.} Deixar {estilo de exibição mathbf {X} ={começar{pmatrix}-mathbf {B} \mathbf {EU} _{n-r}fim{pmatrix}},} Onde {estilo de exibição mathbf {EU} _{n-r}} é o {estilo de exibição (n-r)vezes (n-r)} identity matrix. We note that {estilo de exibição mathbf {X} in operatorname {Esteira} _{ntimes (n-r)}(mathbb {F} )} satisfies {estilo de exibição mathbf {UMA} mathbf {X} ={começar{pmatrix}mathbf {UMA} _{1}&mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} fim{pmatrix}}{começar{pmatrix}-mathbf {B} \mathbf {EU} _{n-r}fim{pmatrix}}=-mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} +mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} = mathbf {0} _{mtimes (n-r)}.} Portanto, each of the {displaystyle n-r} columns of {estilo de exibição mathbf {X} } are particular solutions of {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} .

Além disso, a {displaystyle n-r} columns of {estilo de exibição mathbf {X} } are linearly independent because {estilo de exibição mathbf {Xu} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}} will imply {estilo de exibição mathbf {você} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}} por {estilo de exibição mathbf {você} em matemática {F} ^{n-r}} : {estilo de exibição mathbf {X} mathbf {você} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}implica {começar{pmatrix}-mathbf {B} \mathbf {EU} _{n-r}fim{pmatrix}}mathbf {você} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}implica {começar{pmatrix}-mathbf {B} mathbf {você} \mathbf {você} fim{pmatrix}}={começar{pmatrix}mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}\mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}fim{pmatrix}}implies mathbf {você} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}.} Portanto, the column vectors of {estilo de exibição mathbf {X} } constitute a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions for {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} .

We next prove that any solution of {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} must be a linear combination of the columns of {estilo de exibição mathbf {X} } .

For this, deixar {estilo de exibição mathbf {você} ={começar{pmatrix}mathbf {você} _{1}\mathbf {você} _{2}fim{pmatrix}}em matemática {F} ^{n}} be any vector such that {estilo de exibição mathbf {Au} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} . Note that since the columns of {estilo de exibição mathbf {UMA} _{1}} are linearly independent, {estilo de exibição mathbf {UMA} _{1}mathbf {x} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} implica {estilo de exibição mathbf {x} = mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}} .

Portanto, {estilo de exibição {começar{variedade}{rcl}mathbf {UMA} mathbf {você} &=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}\implica {começar{pmatrix}mathbf {UMA} _{1}&mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} fim{pmatrix}}{começar{pmatrix}mathbf {você} _{1}\mathbf {você} _{2}fim{pmatrix}}&=&mathbf {UMA} _{1}mathbf {você} _{1}+mathbf {UMA} _{1}mathbf {B} mathbf {você} _{2}&=&mathbf {UMA} _{1}(mathbf {você} _{1}+mathbf {B} mathbf {você} _{2})&=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}\implies mathbf {você} _{1}+mathbf {B} mathbf {você} _{2}&=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}\implies mathbf {você} _{1}&=&-mathbf {B} mathbf {você} _{2}fim{variedade}}} {displaystyle implies mathbf {você} ={começar{pmatrix}mathbf {você} _{1}\mathbf {você} _{2}fim{pmatrix}}={começar{pmatrix}-mathbf {B} \mathbf {EU} _{n-r}fim{pmatrix}}mathbf {você} _{2}= mathbf {X} mathbf {você} _{2}.} This proves that any vector {estilo de exibição mathbf {você} } that is a solution of {estilo de exibição mathbf {Ax} = mathbf {0} } must be a linear combination of the {displaystyle n-r} special solutions given by the columns of {estilo de exibição mathbf {X} } . And we have already seen that the columns of {estilo de exibição mathbf {X} } are linearly independent. Por isso, the columns of {estilo de exibição mathbf {X} } constitute a basis for the null space of {estilo de exibição mathbf {UMA} } . Portanto, the nullity of {estilo de exibição mathbf {UMA} } é {displaystyle n-r} . Desde {estilo de exibição r} equals rank of {estilo de exibição mathbf {UMA} } , segue que {nome do operador de estilo de exibição {Rank} (mathbf {UMA} )+nome do operador {Nullity} (mathbf {UMA} )=n} . This concludes our proof.

Reformulations and generalizations This theorem is a statement of the first isomorphism theorem of algebra for the case of vector spaces; it generalizes to the splitting lemma.

In more modern language, the theorem can also be phrased as saying that each short exact sequence of vector spaces splits. Explicitamente, given that {displaystyle 0rightarrow Urightarrow Vmathbin {overset {T}{rightarrow }} Rrightarrow 0} is a short exact sequence of vector spaces, então {displaystyle Uoplus Rcong V} , por isso {estilo de exibição escurecer(você)+dim(R)=dim(V).} Here R plays the role of im T and U is ker T, ou seja. {displaystyle 0rightarrow ker Tmathbin {hookrightarrow } Vmathbin {overset {T}{rightarrow }} nome do operador {Eu estou} Trightarrow 0} No caso de dimensão finita, this formulation is susceptible to a generalization: E se 0 → V1 → V2 → ⋯ → Vr → 0 is an exact sequence of finite-dimensional vector spaces, então[7] {soma de estilo de exibição _{i=1}^{r}(-1)^{eu}dim(V_{eu})=0.} The rank–nullity theorem for finite-dimensional vector spaces may also be formulated in terms of the index of a linear map. The index of a linear map {displaystyle Tin operatorname {Hom} (V,C)} , Onde {estilo de exibição V} e {estilo de exibição W.} are finite-dimensional, é definido por {nome do operador de estilo de exibição {index} T=dim operatorname {Ker} (T)-dim operatorname {Coker} T.} Intuitivamente, {displaystyle dim operatorname {Ker} T} is the number of independent solutions {estilo de exibição v} of the equation {displaystyle Tv=0} , e {displaystyle dim operatorname {Coker} T} is the number of independent restrictions that have to be put on {displaystyle w} to make {displaystyle Tv=w} solucionável. The rank–nullity theorem for finite-dimensional vector spaces is equivalent to the statement {nome do operador de estilo de exibição {index} T=dim V-dim W.} We see that we can easily read off the index of the linear map {estilo de exibição T} from the involved spaces, without any need to analyze {estilo de exibição T} in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.

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