Rank–nullity theorem

Rank–nullity theorem "Rank theorem" reindirizza qui. For the rank theorem of multivariable calculus, see constant rank theorem. This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: see talk:Rank–nullity theorem#Terminology. Please help improve this article if you can. (aprile 2022) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) Rank–nullity theorem The rank–nullity theorem is a theorem in linear algebra, which asserts that the dimension of the domain of a linear map is the sum of its rank (the dimension of its image) and its nullity (the dimension of its kernel).[1][2][3][4] Contenuti 1 Stating the theorem 1.1 Matrici 2 Prove 2.1 Prima prova 2.2 Seconda prova 3 Reformulations and generalizations 4 Citazioni 5 References Stating the theorem Let {stile di visualizzazione T:Vto W} be a linear transformation between two vector spaces where {stile di visualizzazione T} 's domain {stile di visualizzazione V} is finite dimensional. Quindi {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (T)~+~operatorname {Nullity} (T)~=~dim V,} dove {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (T)~:=~dim(nome operatore {Image} (T))qquad {testo{ e }}qquad operatorname {Nullity} (T)~:=~dim(nome operatore {Ker} (T)).} In altre parole, {displaystyle dim(nome operatore {io sono} T)+dim(ker T)=dim(nome operatore {domain} T).} This theorem can be refined via the splitting lemma to be a statement about an isomorphism of spaces, not just dimensions. Esplicitamente, since T induces an isomorphism from {displaystyle V/operatorname {Ker} (T)} a {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Image} (T),} the existence of a basis for V that extends any given basis of {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Ker} (T)} implica, via the splitting lemma, Quello {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Image} (T)oplus operatorname {Ker} (T)cong V.} Taking dimensions, the rank–nullity theorem follows.

Matrices Since {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Stuoia} _{mtimes n}(mathbb {F} )cong operatorname {Hom} sinistra(mathbb {F} ^{n},mathbb {F} ^{m}Giusto),} [5] matrices immediately come to mind when discussing linear maps. In the case of an {displaystyle mtimes n} matrice, the dimension of the domain is {stile di visualizzazione n,} the number of columns in the matrix. Thus the rank–nullity theorem for a given matrix {displaystyle Min operatorname {Stuoia} _{mtimes n}(mathbb {F} )} immediately becomes {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (M)+nome operatore {Nullity} (M)=n.} Proofs Here we provide two proofs. The first[2] operates in the general case, using linear maps. The second proof[6] looks at the homogeneous system {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} } per {displaystyle mathbf {UN} in operatorname {Stuoia} _{mtimes n}(mathbb {F} )} with rank {stile di visualizzazione r} and shows explicitly that there exists a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions that span the kernel of {displaystyle mathbf {UN} } .

While the theorem requires that the domain of the linear map be finite-dimensional, there is no such assumption on the codomain. This means that there are linear maps not given by matrices for which the theorem applies. Despite this, the first proof is not actually more general than the second: since the image of the linear map is finite-dimensional, we can represent the map from its domain to its image by a matrix, prove the theorem for that matrix, then compose with the inclusion of the image into the full codomain.

First proof Let {stile di visualizzazione V,w} be vector spaces over some field {displaystyle mathbb {F} } e {stile di visualizzazione T} defined as in the statement of the theorem with {displaystyle dim V=n} .

Come {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Ker} Tsubset V} è un sottospazio, there exists a basis for it. Supponiamo {displaystyle dim operatorname {Ker} T=k} e lascia {stile di visualizzazione {matematico {K}}:={v_{1},ldot ,v_{K}}nome operatore sottoinsieme {Ker} (T)} be such a basis.

We may now, by the Steinitz exchange lemma, extend {stile di visualizzazione {matematico {K}}} insieme a {displaystyle n-k} linearly independent vectors {displaystyle w_{1},ldot ,w_{n-k}} to form a full basis of {stile di visualizzazione V} .

Permettere {stile di visualizzazione {matematico {S}}:={w_{1},ldot ,w_{n-k}}subset Vsetminus operatorname {Ker} (T)} tale che {stile di visualizzazione {matematico {B}}:={matematico {K}}tazza {matematico {S}}={v_{1},ldot ,v_{K},w_{1},ldot ,w_{n-k}}subset V} is a basis for {stile di visualizzazione V} . Da questo, we know that {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T=operatorname {Span} T({matematico {B}})=nome operatore {Span} {T(v_{1}),ldot ,T(v_{K}),T(w_{1}),ldot ,T(w_{n-k})}=nome operatore {Span} {T(w_{1}),ldot ,T(w_{n-k})}=nome operatore {Span} T({matematico {S}}).} We now claim that {stile di visualizzazione T({matematico {S}})} is a basis for {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T} . The above equality already states that {stile di visualizzazione T({matematico {S}})} is a generating set for {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T} ; it remains to be shown that it is also linearly independent to conclude that it is a basis.

Supponiamo {stile di visualizzazione T({matematico {S}})} is not linearly independent, e lascia {somma dello stile di visualizzazione _{j=1}^{n-k}alfa _{j}T(w_{j})=0_{w}} per alcuni {displaystyle alfa _{j}in matematica bb {F} } .

così, owing to the linearity of {stile di visualizzazione T} , ne consegue che {displaystyle Tleft(somma _{j=1}^{n-k}alfa _{j}w_{j}Giusto)=0_{w}implies left(somma _{j=1}^{n-k}alfa _{j}w_{j}Giusto)in operatorname {Ker} T=operatorname {Span} {matematico {K}}subset V.} This is a contradiction to {stile di visualizzazione {matematico {B}}} being a basis, unless all {displaystyle alfa _{j}} are equal to zero. This shows that {stile di visualizzazione T({matematico {S}})} is linearly independent, and more specifically that it is a basis for {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T} .

To summarize, noi abbiamo {stile di visualizzazione {matematico {K}}} , a basis for {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Ker} T} , e {stile di visualizzazione T({matematico {S}})} , a basis for {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T} .

Finally we may state that {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (T)+nome operatore {Nullity} (T)=dim operatorname {Io sono} T+dim operatorname {Ker} T=|T({matematico {S}})|+|{matematico {K}}|=(n-k)+k=n=dim V.} This concludes our proof.

Second proof Let {displaystyle mathbf {UN} in operatorname {Stuoia} _{mtimes n}(mathbb {F} )} insieme a {stile di visualizzazione r} linearly independent columns (cioè. {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (mathbf {UN} )=r} ). Lo mostreremo: There exists a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions to the homogeneous system {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} } . That every other solution is a linear combination of these {displaystyle n-r} solutions.

To do this, we will produce a matrix {displaystyle mathbf {X} in operatorname {Stuoia} _{ntimes (n-r)}(mathbb {F} )} whose columns form a basis of the null space of {displaystyle mathbf {UN} } .

Senza perdita di generalità, assume that the first {stile di visualizzazione r} columns of {displaystyle mathbf {UN} } are linearly independent. Così, possiamo scrivere {displaystyle mathbf {UN} ={inizio{pmatrice}mathbf {UN} _{1}&mathbf {UN} _{2}fine{pmatrice}},} dove {displaystyle mathbf {UN} _{1}in operatorname {Stuoia} _{mtimes r}(mathbb {F} )} insieme a {stile di visualizzazione r} linearly independent column vectors, e {displaystyle mathbf {UN} _{2}in operatorname {Stuoia} _{mtimes (n-r)}(mathbb {F} )} , each of whose {displaystyle n-r} columns are linear combinations of the columns of {displaystyle mathbf {UN} _{1}} .

Ciò significa che {displaystyle mathbf {UN} _{2}=mathbf {UN} _{1}mathbf {B} } per alcuni {displaystyle mathbf {B} in operatorname {Stuoia} _{rtimes (n-r)}} (see rank factorization) e, quindi, {displaystyle mathbf {UN} ={inizio{pmatrice}mathbf {UN} _{1}&mathbf {UN} _{1}mathbf {B} fine{pmatrice}}.} Permettere {displaystyle mathbf {X} ={inizio{pmatrice}-mathbf {B} \mathbf {io} _{n-r}fine{pmatrice}},} dove {displaystyle mathbf {io} _{n-r}} è il {stile di visualizzazione (n-r)volte (n-r)} identity matrix. We note that {displaystyle mathbf {X} in operatorname {Stuoia} _{ntimes (n-r)}(mathbb {F} )} soddisfa {displaystyle mathbf {UN} mathbf {X} ={inizio{pmatrice}mathbf {UN} _{1}&mathbf {UN} _{1}mathbf {B} fine{pmatrice}}{inizio{pmatrice}-mathbf {B} \mathbf {io} _{n-r}fine{pmatrice}}=-mathbf {UN} _{1}mathbf {B} +mathbf {UN} _{1}mathbf {B} =mathbf {0} _{mtimes (n-r)}.} Perciò, each of the {displaystyle n-r} columns of {displaystyle mathbf {X} } are particular solutions of {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} .

Inoltre, il {displaystyle n-r} columns of {displaystyle mathbf {X} } are linearly independent because {displaystyle mathbf {Xu} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}} will imply {displaystyle mathbf {tu} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}} per {displaystyle mathbf {tu} in matematica bb {F} ^{n-r}} : {displaystyle mathbf {X} mathbf {tu} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}implica {inizio{pmatrice}-mathbf {B} \mathbf {io} _{n-r}fine{pmatrice}}mathbf {tu} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n}}implica {inizio{pmatrice}-mathbf {B} mathbf {tu} \mathbf {tu} fine{pmatrice}}={inizio{pmatrice}mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}\mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}fine{pmatrice}}implies mathbf {tu} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{n-r}}.} Perciò, the column vectors of {displaystyle mathbf {X} } constitute a set of {displaystyle n-r} linearly independent solutions for {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} .

We next prove that any solution of {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} must be a linear combination of the columns of {displaystyle mathbf {X} } .

For this, permettere {displaystyle mathbf {tu} ={inizio{pmatrice}mathbf {tu} _{1}\mathbf {tu} _{2}fine{pmatrice}}in matematica bb {F} ^{n}} be any vector such that {displaystyle mathbf {Au} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} . Note that since the columns of {displaystyle mathbf {UN} _{1}} are linearly independent, {displaystyle mathbf {UN} _{1}mathbf {X} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}} implica {displaystyle mathbf {X} =mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}} .

Perciò, {stile di visualizzazione {inizio{Vettore}{rcl}mathbf {UN} mathbf {tu} &=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}\implica {inizio{pmatrice}mathbf {UN} _{1}&mathbf {UN} _{1}mathbf {B} fine{pmatrice}}{inizio{pmatrice}mathbf {tu} _{1}\mathbf {tu} _{2}fine{pmatrice}}&=&mathbf {UN} _{1}mathbf {tu} _{1}+mathbf {UN} _{1}mathbf {B} mathbf {tu} _{2}&=&mathbf {UN} _{1}(mathbf {tu} _{1}+mathbf {B} mathbf {tu} _{2})&=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{m}}\implies mathbf {tu} _{1}+mathbf {B} mathbf {tu} _{2}&=&mathbf {0} _{mathbb {F} ^{r}}\implies mathbf {tu} _{1}&=&-mathbf {B} mathbf {tu} _{2}fine{Vettore}}} {displaystyle implies mathbf {tu} ={inizio{pmatrice}mathbf {tu} _{1}\mathbf {tu} _{2}fine{pmatrice}}={inizio{pmatrice}-mathbf {B} \mathbf {io} _{n-r}fine{pmatrice}}mathbf {tu} _{2}=mathbf {X} mathbf {tu} _{2}.} This proves that any vector {displaystyle mathbf {tu} } that is a solution of {displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {0} } must be a linear combination of the {displaystyle n-r} special solutions given by the columns of {displaystyle mathbf {X} } . And we have already seen that the columns of {displaystyle mathbf {X} } are linearly independent. Quindi, the columns of {displaystyle mathbf {X} } constitute a basis for the null space of {displaystyle mathbf {UN} } . Perciò, the nullity of {displaystyle mathbf {UN} } è {displaystyle n-r} . Da {stile di visualizzazione r} equals rank of {displaystyle mathbf {UN} } , ne consegue che {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Rank} (mathbf {UN} )+nome operatore {Nullity} (mathbf {UN} )=n} . This concludes our proof.

Reformulations and generalizations This theorem is a statement of the first isomorphism theorem of algebra for the case of vector spaces; it generalizes to the splitting lemma.

In more modern language, the theorem can also be phrased as saying that each short exact sequence of vector spaces splits. Esplicitamente, given that {displaystyle 0rightarrow Urightarrow Vmathbin {trascurato {T}{freccia destra }} Rrightarrow 0} is a short exact sequence of vector spaces, poi {displaystyle Uoplus Rcong V} , quindi {displaystyle dim(u)+dim(R)=dim(V).} Here R plays the role of im T and U is ker T, cioè. {displaystyle 0rightarrow ker Tmathbin {hookrightarrow } Vmathbin {trascurato {T}{freccia destra }} nome operatore {io sono} Trightarrow 0} Nel caso a dimensione finita, this formulation is susceptible to a generalization: Se 0 → V1 → V2 → ⋯ → Vr → 0 is an exact sequence of finite-dimensional vector spaces, poi[7] {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{r}(-1)^{io}dim(V_{io})=0.} The rank–nullity theorem for finite-dimensional vector spaces may also be formulated in terms of the index of a linear map. The index of a linear map {displaystyle Tin operatorname {Hom} (V,w)} , dove {stile di visualizzazione V} e {stile di visualizzazione W.} are finite-dimensional, è definito da {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {index} T=dim operatorname {Ker} (T)-dim operatorname {Coker} T.} Intuitivamente, {displaystyle dim operatorname {Ker} T} is the number of independent solutions {stile di visualizzazione v} of the equation {displaystyle Tv=0} , e {displaystyle dim operatorname {Coker} T} is the number of independent restrictions that have to be put on {displaystyle w} to make {displaystyle Tv=w} risolvibile. The rank–nullity theorem for finite-dimensional vector spaces is equivalent to the statement {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {index} T=dim V-dim W.} We see that we can easily read off the index of the linear map {stile di visualizzazione T} from the involved spaces, without any need to analyze {stile di visualizzazione T} in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.

Citations ^ Axler (2015) p. 63, §3.22 ^ Jump up to: a b Friedberg, Insel & Spence (2014) p. 70, §2.1, Teorema 2.3 ^ Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, §2.5.1 ^ Valenza (1993) p. 71, §4.3 ^ Friedberg, Insel & Spence (2014) pp. 103-104, §2.4, Teorema 2.20 ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 ^ Zaman, Ragib. "Dimensions of vector spaces in an exact sequence". Mathematics Stack Exchange. Recuperato 27 ottobre 2015. References Axler, Sheldon (2015). Algebra lineare fatta bene. Undergraduate Texts in Mathematics (33a ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2014). Linear Algebra (4th ed.). Pearson Education. ISBN 978-0130084514. Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8. Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). UN (Terse) Introduction to Linear Algebra. Società matematica americana. ISBN 978-0-8218-4419-9. Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics (33a ed.). Springer. ISBN 3-540-94099-5. Categorie: Theorems in linear algebraIsomorphism theorems