Cartographie quasi-conformelle

Mappage quasi-formel hide Cet article a plusieurs problèmes. Aidez-nous à l'améliorer ou discutez de ces problèmes sur la page de discussion. (Découvrez comment et quand supprimer ces modèles de messages) Cet article comprend une liste de références, lecture connexe ou liens externes, mais ses sources restent floues car il manque de citations en ligne. (Décembre 2020) Cet article peut être trop technique pour que la plupart des lecteurs le comprennent. (Décembre 2020) En analyse mathématique complexe, une application quasi-conforme, introduit par Grötzsch (1928) et nommé par Ahlfors (1935), est un homéomorphisme entre domaines plans qui, au premier ordre, transforme les petits cercles en petites ellipses d'excentricité bornée.

Intuitivement, laissez f : D → D′ un homéomorphisme préservant l'orientation entre ensembles ouverts dans le plan. Si f est continûment différentiable, alors c'est K-quasiconformal si la dérivée de f en chaque point fait correspondre des cercles à des ellipses avec une excentricité bornée par K.

Contenu 1 Définition 2 Quelques faits sur les applications quasi-conformes 3 Théorème de cartographie de Riemann mesurable 4 Géométrie quasi-conforme computationnelle 5 Voir également 6 Références Définition Supposons f : D → D′ où D et D′ sont deux domaines de C. Il existe une variété de définitions équivalentes, en fonction de la régularité requise de f. Si f est supposé avoir des dérivées partielles continues, alors f est quasi-conforme pourvu qu'elle satisfasse l'équation de Beltrami {style d'affichage {frac {f partiel}{partiel {bar {z}}}}=dans (z){frac {f partiel}{z partiel}},} (1) pour un Lebesgue à valeurs complexes mesurable μ satisfaisant sup |m| < 1 (Bers 1977). This equation admits a geometrical interpretation. Equip D with the metric tensor {displaystyle ds^{2}=Omega (z)^{2}left|,dz+mu (z),d{bar {z}}right|^{2},} where Ω(z) > 0. Alors f satisfait (1) précisément quand il s'agit d'une transformation conforme de D muni de cette métrique vers le domaine D' muni de la métrique euclidienne standard. La fonction f est alors dite μ-conforme. Plus généralement, la dérivabilité continue de f peut être remplacée par la condition plus faible que f soit dans l'espace de Sobolev W1,2(ré) de fonctions dont les dérivées distributionnelles du premier ordre sont dans L2(ré). Dans ce cas, f doit être une solution faible de (1). Quand μ est nul presque partout, tout homéomorphisme en W1,2(ré) c'est une solution faible de (1) est conforme.

Sans recours à une métrique auxiliaire, considérer l'effet du pullback sous f de la métrique euclidienne habituelle. La métrique résultante est alors donnée par {style d'affichage à gauche|{frac {f partiel}{z partiel}}droit|^{2}la gauche|,dz+mu (z),ré{bar {z}}droit|^{2}} qui, par rapport à la métrique euclidienne de fond {style d'affichage dz{bar {z}}} , a des valeurs propres {style d'affichage (1+|dans |)^{2}style de texte {la gauche|{frac {f partiel}{z partiel}}droit|^{2}},qquad (1-|dans |)^{2}style de texte {la gauche|{frac {f partiel}{z partiel}}droit|^{2}}.} Les valeurs propres représentent, respectivement, la longueur au carré du grand et du petit axe de l'ellipse obtenue en tirant le long de f le cercle unité dans le plan tangent.

Par conséquent, la dilatation de f en un point z est définie par {style d'affichage K(z)={frac {1+|dans (z)|}{1-|dans (z)|}}.} La (essentiel) suprême de K(z) est donné par {style d'affichage K=sup _{zine D}|K(z)|={frac {1+|dans |_{infime }}{1-|dans |_{infime }}}} et s'appelle la dilatation de f.

Une définition basée sur la notion de longueur extrême est la suivante. S'il existe un K fini tel que pour toute collection Γ de courbes dans D la longueur extrémale de Γ est au plus K fois la longueur extrémale de {f o c : γ ∈ C}. Alors f est K-quasconforme.

Si f est K-quasconforme pour un certain K fini, alors f est quasi-conforme.

A few facts about quasiconformal mappings If K > 1 puis les cartes x + iy ↦ Kx + iy et x + iy ↦ x + iKy sont quasi conformes et ont une dilatation constante K.

If s > −1 then the map {style d'affichage zmapsto z,|z|^{s}} est quasi-conforme (ici z est un nombre complexe) et a une dilatation constante {style d'affichage max(1+s,{frac {1}{1+s}})} . Quand s ≠ 0, ceci est un exemple d'homéomorphisme quasi-conforme qui n'est pas lisse. Si s = 0, c'est simplement la carte d'identité.

Un homéomorphisme est 1-quasconforme si et seulement s'il est conforme. Par conséquent, la carte d'identité est toujours 1-quasconforme. Si f : D → D′ est K-quasconforme et g : D′ → D′′ est K′-quasiconforme, alors g o f est KK′-quasconforme. L'inverse d'un homéomorphisme K-quasiconforme est K-quasiconforme. L'ensemble des applications 1-quasiconformelles forme un groupe sous composition.

L'espace des applications K-quasiconformelles du plan complexe à lui-même mappant trois points distincts à trois points donnés est compact.

Cette section a besoin d'être agrandie. Vous pouvez aider en y ajoutant. (Peut 2012) Théorème de cartographie de Riemann mesurable Le théorème de cartographie de Riemann mesurable est d'une importance centrale dans la théorie des applications quasi conformes en deux dimensions, prouvé par Lars Ahlfors et Lipman Bers. Le théorème généralise le théorème de cartographie de Riemann des homéomorphismes conformes aux quasi-conformes, et s'énonce comme suit. Supposons que D est un domaine simplement connexe de C qui n'est pas égal à C, et supposons que μ : D → C est Lebesgue mesurable et satisfait {style d'affichage |dans |_{infime }<1} . Then there is a quasiconformal homeomorphism f from D to the unit disk which is in the Sobolev space W1,2(D) and satisfies the corresponding Beltrami equation (1) in the distributional sense. As with Riemann's mapping theorem, this f is unique up to 3 real parameters. Computational quasi-conformal geometry Recently, quasi-conformal geometry has attracted attention from different fields, such as applied mathematics, computer vision and medical imaging. Computational quasi-conformal geometry has been developed, which extends the quasi-conformal theory into a discrete setting. It has found various important applications in medical image analysis, computer vision and graphics. See also Isothermal coordinates Pseudoanalytic function Teichmüller space Quasiregular map References Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (in German), 65 (1): 157–194, doi:10.1007/BF02420945, ISSN 0001-5962, JFM 61.0365.03, Zbl 0012.17204. Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings, University Lecture Series, vol. 38 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6, MR 2241787, Zbl 1103.30001, (reviews of the first edition: MR0200442, Zbl 1103.30001). Bers, Lipman (1977), "Quasiconformal mappings, with applications to differential equations, function theory and topology", Bull. Amer. Math. Soc., 83 (6): 1083–1100, doi:10.1090/S0002-9904-1977-14390-5, MR 0463433. Caraman, Petru (1974) [1968], n–Dimensional Quasiconformal (QCf) Mappings (revised ed.), București / Tunbridge Wells, Kent: Editura Academiei / Abacus Press, p. 553, ISBN 0-85626-005-3, MR 0357782, Zbl 0342.30015. Grötzsch, Herbert (1928), "Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (in German), 80: 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01. Heinonen, Juha (December 2006), "What Is ... a Quasiconformal Mapping?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 53 (11): 1334–1335, MR 2268390, Zbl 1142.30322. Lehto, O.; Virtanen, K.I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (2nd ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. VIII+258, ISBN 3-540-03303-3, MR 0344463, Zbl 0267.30016 (also available as ISBN 0-387-03303-3). Morrey, Charles B. Jr. (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi:10.2307/1989904, JFM 62.0565.02, JSTOR 1989904, MR 1501936, Zbl 0018.40501. Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826. Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085. Zorich, V. A. (2001) [1994], "Quasi-conformal mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press. Categories: Conformal mappingsHomeomorphismsComplex analysis