teorema dos números primos

Teorema dos números primos Este artigo utiliza notação matemática técnica para logaritmos. Todas as instâncias do registro(x) sem uma base subscrita deve ser interpretado como um logaritmo natural, comumente notado como ln(x) ou loge(x).

Na matemática, o teorema dos números primos (PNT) descreve a distribuição assintótica dos números primos entre os inteiros positivos. Ele formaliza a ideia intuitiva de que os primos se tornam menos comuns à medida que se tornam maiores, quantificando com precisão a taxa em que isso ocorre. O teorema foi provado independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin em 1896 usando ideias introduzidas por Bernhard Riemann (em particular, a função zeta de Riemann).

A primeira distribuição desse tipo encontrada é π(N) ~ N / registro(N) , onde π(N) é a função de contagem de primos (o número de primos menores ou iguais a N) e log(N) é o logaritmo natural de N. Isso significa que para N suficientemente grande, a probabilidade de que um inteiro aleatório não maior que N seja primo é muito próxima de 1 / registro(N). Consequentemente, um inteiro aleatório com no máximo 2n dígitos (para n suficientemente grande) tem cerca de metade da probabilidade de ser primo do que um inteiro aleatório com no máximo n dígitos. Por exemplo, entre os inteiros positivos de no máximo 1000 dígitos, cerca de um em 2300 é primo (registro(101000) ≈ 2302.6), Considerando que entre inteiros positivos de no máximo 2000 dígitos, cerca de um em 4600 é primo (registro(102000) ≈ 4605.2). Em outras palavras, a diferença média entre números primos consecutivos entre os primeiros N inteiros é aproximadamente logarítmica(N).[1] Conteúdo 1 Declaração 2 História da prova da lei assintótica dos números primos 3 Esboço de prova 3.1 Não desaparecendo em Re(s) = 1 4 A prova de Newman do teorema dos números primos 5 Função de contagem de primos em termos da integral logarítmica 6 provas elementares 7 Verificações de computador 8 Teorema dos números primos para progressões aritméticas 8.1 corrida de números primos 9 Limites não assintóticos na função de contagem de primos 10 Aproximações para o n-ésimo número primo 11 Tabela de p(x), x / log x, e li(x) 12 Analógico para polinômios irredutíveis sobre um corpo finito 13 Veja também 14 Referências 15 Fontes 16 Links externos Gráfico de declaração mostrando a proporção da função de contagem de números primos π(x) a duas de suas aproximações, x / log x e ​​Li(x). À medida que x aumenta (observe que o eixo x é logarítmico), ambas as razões tendem para 1. A razão para x / log x converge de cima muito lentamente, enquanto a razão para Li(x) converge mais rapidamente de baixo. Gráfico log-log mostrando erro absoluto de x / log x e ​​Li(x), duas aproximações para a função de contagem de primos π(x). Ao contrário da proporção, a diferença entre π(x) e x / log x aumenta sem limites conforme x aumenta. Por outro lado, Li(x) − p(x) interruptores assinam infinitas vezes.

Seja π(x) ser a função de contagem de primos definida como o número de primos menor ou igual a x, para qualquer número real x. Por exemplo, Pi(10) = 4 porque existem quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menos que ou igual a 10. O teorema dos números primos então afirma que x / log x é uma boa aproximação para π(x) (onde log aqui significa o logaritmo natural), no sentido de que o limite do quociente das duas funções π(x) e x / log x à medida que x aumenta sem limite é 1: {displaystyle lim _{xto infty }{fratura {;pi (x);}{;deixei[{fratura {x}{registro(x)}}certo];}}=1,} conhecida como a lei assintótica de distribuição de números primos. Usando a notação assintótica, este resultado pode ser reformulado como {estilo de exibição pi (x)sim {fratura {x}{log x}}.} Esta notação (e o teorema) não diz nada sobre o limite da diferença das duas funções quando x aumenta sem limite. Em vez de, o teorema afirma que x / log x aproxima π(x) no sentido de que o erro relativo dessa aproximação se aproxima de 0 quando x aumenta sem limite.

O teorema dos números primos é equivalente à afirmação de que o enésimo número primo pn satisfaz {estilo de exibição p_{n}Tente dormir(n),} o significado da notação assintótica, novamente, que o erro relativo desta aproximação se aproxima 0 à medida que n aumenta sem limite. Por exemplo, o 2×1017º número primo é 8512677386048191063,[2] e (2×1017)registro(2×1017) arredonda para 7967418752291744388, um erro relativo de cerca de 6.4%.

Por outro lado, as seguintes relações assintóticas são logicamente equivalentes[3] {estilo de exibição {começar{alinhado}lim_{xrightarrow infty }{fratura {pi (x)log x}{x}}=&1,\lim _{xrightarrow infty }{fratura {pi (x)log pi (x)}{x}}=&1.end{alinhado}}} Conforme descrito abaixo, o teorema dos números primos também é equivalente a {displaystyle lim _{xto infty }{fratura {vartheta (x)}{x}}=lim_{xto infty }{fratura {psi (x)}{x}}=1,} onde ϑ e ψ são a primeira e a segunda funções de Chebyshev, respectivamente, e para {displaystyle lim _{xto infty }{fratura {M(x)}{x}}=0,} [4] Onde {estilo de exibição M(x)=soma _{nleg x}dentro (n)} é a função de Mertens.

História da prova da lei assintótica dos números primos Baseado nas tabelas de Anton Felkel e Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π(uma) é aproximado pela função a / (um log um + B), onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre teoria dos números (1808) ele então fez uma conjectura mais precisa, com A = 1 e B = −1,08366. Carl Friedrich Gauss considerou a mesma questão na idade 15 ou 16 "no ano 1792 ou 1793", de acordo com sua própria lembrança em 1849.[5] Dentro 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet criou sua própria função de aproximação, a integral logarítmica li(x) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). Ambas as fórmulas de Legendre e Dirichlet implicam a mesma equivalência assintótica conjecturada de π(x) e x / registro(x) Afirmado acima, embora a aproximação de Dirichlet seja consideravelmente melhor se considerarmos as diferenças em vez dos quocientes.

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty Chebyshev tentou provar a lei assintótica da distribuição de números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ(s), para valores reais do argumento "s", como nas obras de Leonhard Euler, tão cedo quanto 1737. Os papéis de Chebyshev são anteriores às célebres memórias de Riemann sobre 1859, e ele conseguiu provar uma forma ligeiramente mais fraca da lei assintótica, nomeadamente, que se o limite como x vai para o infinito de π(x) / (x / registro(x)) existe em tudo, então é necessariamente igual a um.[6] Ele foi capaz de provar incondicionalmente que essa razão é limitada acima e abaixo por duas constantes explicitamente dadas próximas a 1, para todo x suficientemente grande.[7] Embora o artigo de Chebyshev não tenha provado o teorema dos números primos, essas estimativas são para π(x) foram fortes o suficiente para ele provar o postulado de Bertrand de que existe um número primo entre n e 2n para qualquer inteiro n ≥ 2.

Um artigo importante sobre a distribuição de números primos foi o de Riemann 1859 livro de memórias "Sobre o número de primos menores que uma determinada magnitude", o único artigo que ele escreveu sobre o assunto. Riemann introduziu novas ideias no assunto, principalmente que a distribuição de números primos está intimamente ligada com os zeros da função zeta de Riemann analiticamente estendida de uma variável complexa. Em particular, é neste trabalho que surgiu a ideia de aplicar métodos de análise complexa ao estudo da função real π(x) origina. Estendendo as ideias de Riemann, duas provas da lei assintótica da distribuição de números primos foram encontradas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as provas usaram métodos de análise complexa, estabelecendo como passo principal da prova que a função zeta de Riemann ζ(s) é diferente de zero para todos os valores complexos da variável s que têm a forma s = 1 + it with t > 0.[8] Durante o século 20, os teoremas de Hadamard e Poussin Valley também se tornaram conhecidos como o teorema dos números primos. Várias provas diferentes disso foram encontradas, incluindo o "elementar" provas de Atle Selberg e Paul Erdős (1949). As provas originais de Hadamard e de la Vallée Poussin são longas e elaboradas; provas posteriores introduziram várias simplificações através do uso de teoremas de Tauber, mas permaneceram difíceis de digerir. Uma pequena prova foi descoberta em 1980 pelo matemático americano Donald J.. Novo homem.[9][10] A prova de Newman é indiscutivelmente a mais simples prova conhecida do teorema, embora não seja elementar no sentido de que usa o teorema integral de Cauchy da análise complexa.

Esboço da prova Aqui está um esboço da prova mencionada em uma das palestras de Terence Tao.[11] Como a maioria das provas do PNT, começa por reformular o problema em termos de uma abordagem menos intuitiva, mas bem comportado, função de contagem de primos. A ideia é contar os primos (ou um conjunto relacionado, como o conjunto de potências primárias) com pesos para chegar a uma função com comportamento assintótico mais suave. A função de contagem generalizada mais comum é a função de Chebyshev ψ(x), definido por {estilo de exibição psi (x)=!!!!soma _{pilha {p^{k}leq x,}{p{texto{ é primo}}}}!!!!log p;.} Isso às vezes é escrito como {estilo de exibição psi (x)=soma _{nleg x}Lambda (n);,} onde Λ(n) é a função de von Mangoldt, nomeadamente {estilo de exibição Lambda (n)={começar{casos}log p&{texto{ E se }}n=p^{k}{texto{ por algum primo }}p{texto{ e inteiro }}kgeq 1,\0&{texto{por outro lado.}}fim{casos}}} Agora é relativamente fácil verificar que o PNT é equivalente à afirmação de que {displaystyle lim _{xto infty }{fratura {psi (x)}{x}}=1;.} De fato, isso decorre das estimativas fáceis {estilo de exibição psi (x)=soma _{pilha {velho x}{p{texto{ é primo}}}}log pleftlfloor {fratura {log x}{log p}}rightrfloor leq sum _{pilha {velho x}{p{texto{ é primo}}}}log x=pi (x)log x} e (usando a notação O grande) for any ε > 0, {estilo de exibição psi (x)geq !!!!soma _{pilha {x^{1-varepsilon }leq pleq x}{p{texto{ é primo}}}}!!!!log pgeq !!!!soma _{pilha {x^{1-varepsilon }leq pleq x}{p{texto{ é primo}}}}!!!!(1-varepsilon )logar x=(1-varepsilon )deixei(pi (x)+Oleft(x^{1-varepsilon }certo)certo)log x;.} O próximo passo é encontrar uma representação útil para ψ(x). Seja ζ(s) ser a função zeta de Riemann. Pode-se mostrar que ζ(s) está relacionado com a função de von Mangoldt Λ(n), e, portanto, para ψ(x), através da relação {estilo de exibição -{fratura {zeta'(s)}{zeta (s)}}=soma _{n=1}^{infty }Lambda (n),n^{-s};.} Uma análise delicada desta equação e propriedades relacionadas da função zeta, usando a transformada de Mellin e a fórmula de Perron, mostra que para x não inteiro a equação {estilo de exibição psi (x)=x;-;registro(2pi );-limites de soma _{rho :,zeta (rho )=0}{fratura {x^{rho }}{rho }}} detém, onde a soma é sobre todos os zeros (trivial e não trivial) da função zeta. Esta fórmula impressionante é uma das chamadas fórmulas explícitas da teoria dos números, e já é sugestivo do resultado que desejamos provar, desde o termo x (alegou ser a ordem assintótica correta de ψ(x)) aparece do lado direito, Seguido por (presumivelmente) termos assintóticos de ordem inferior.

O próximo passo na prova envolve um estudo dos zeros da função zeta. Os zeros triviais −2, −4, −6, −8, ... pode ser tratado separadamente: {soma de estilo de exibição _{n=1}^{infty }{fratura {1}{2n,x^{2n}}}=-{fratura {1}{2}}log à esquerda(1-{fratura {1}{x^{2}}}certo),} que desaparece para um grande x. Os zeros não triviais, ou seja, aqueles na faixa crítica 0 ≤ Re(s) ≤ 1, pode potencialmente ser de ordem assintótica comparável ao termo principal x se Re(r) = 1, então precisamos mostrar que todos os zeros têm parte real estritamente menor que 1.

Não desaparecendo em Re(s) = 1 Para fazer isso, tomamos como certo que ζ(s) é meromorfo no semiplano Re(s) > 0, e é analítico lá, exceto por um pólo simples em s = 1, e que existe uma fórmula de produto {estilo de exibição zeta (s)=prod_{p}{fratura {1}{1-p^{-s}}}} para Re(s) > 1. Esta fórmula de produto decorre da existência de fatoração única de números inteiros, e mostra que ζ(s) nunca é zero nesta região, de modo que seu logaritmo é definido lá e {estilo de exibição log zeta (s)=-soma _{p}log à esquerda(1-p^{-s}certo)=soma _{p,n}{fratura {p^{-ns}}{n}};.} Escreva s = x + eu ; então {estilo de exibição {grande |}zeta (x+iy){grande |}=exp à esquerda(soma _{n,p}{fratura {cos nylog p}{np^{nx}}}certo);.} Agora observe a identidade {estilo de exibição 3+4cos phi +cos 2phi =2(1+cos fi )^{2}geq 0;,} de modo a {estilo de exibição à esquerda|zeta (x)^{3}zeta (x+iy)^{4}zeta (x+2iy)certo|=exp à esquerda(soma _{n,p}{fratura {3+4porque(nylog p)+porque(2nylog p)}{np^{nx}}}certo)geq 1} for all x > 1. Suponha agora que ζ(1 + eu) = 0. Certamente y não é zero, desde ζ(s) tem um pólo simples em s = 1. Suppose that x > 1 e deixe x tender a 1 de cima. Desde {estilo de exibição zeta (s)} tem um pólo simples em s = 1 e ζ(x + 2eu) permanece analítico, o lado esquerdo na desigualdade anterior tende a 0, uma contradição.

Finalmente, podemos concluir que o PNT é heuristicamente verdadeiro. Para completar rigorosamente a prova, ainda há tecnicismos sérios a serem superados, devido ao fato de que a soma sobre zeros zeta na fórmula explícita para ψ(x) não converge absolutamente, mas apenas condicionalmente e de uma "valor principal" senso. Existem várias maneiras de contornar esse problema, mas muitas delas requerem estimativas analíticas complexas bastante delicadas. livro de Edwards[12] fornece os detalhes. Outro método é usar o teorema Tauberiano de Ikehara, embora este teorema seja bastante difícil de provar. DJ. Newman observou que a força total do teorema de Ikehara não é necessária para o teorema dos números primos, e pode-se fugir com um caso especial que é muito mais fácil de provar.

A prova de Newman do teorema dos números primos D. J. Newman dá uma prova rápida do teorema dos números primos (PNT). A prova é "não elementar" em virtude de confiar em análises complexas, mas usa apenas técnicas elementares de um primeiro curso no assunto: fórmula integral de Cauchy, Teorema integral de Cauchy e estimativas de integrais complexas. Aqui está um breve esboço desta prova. Ver [10] para os detalhes completos.

A prova usa as mesmas preliminares da seção anterior, exceto em vez da função {estilo de texto psi } , a função Chebyshev {estilo de texto quad vartheta (x)=soma _{velho x}log p} é usado, que é obtido eliminando alguns dos termos da série para {estilo de texto psi } . É fácil mostrar que o PNT é equivalente a {displaystyle lim _{xto infty }vartheta (x)/x=1} . Da mesma forma em vez de {estilo de exibição -{fratura {zeta'(s)}{zeta (s)}}} a função {estilo de exibição Phi (s)=soma _{velho x}log p,,p^{-s}} é usado, que é obtido eliminando alguns termos da série para {estilo de exibição -{fratura {zeta'(s)}{zeta (s)}}} . As funções {estilo de exibição Phi (s)} e {estilo de exibição -zeta '(s)/zeta (s)} diferem por uma função holomorfa em {estilo de exibição Re s = 1} . Desde, como foi mostrado na seção anterior, {estilo de exibição zeta (s)} não tem zeros na linha {estilo de exibição Re s = 1} , {estilo de exibição Phi (s)-{fratura {1}{s-1}}} não tem singularidades em {estilo de exibição Re s = 1} .

Mais uma informação necessária na prova de Newman, e qual é a chave para as estimativas em seu método simples, é aquele {estilo de exibição vartheta (x)/x} é limitado. Isso é comprovado usando um método engenhoso e fácil devido a Chebyshev.

A integração por partes mostra como {estilo de exibição vartheta (x)} e {estilo de exibição Phi (s)} são relacionados. Por {displaystyle Re s>1} , {estilo de exibição Phi (s)=int_{1}^{infty }x^{-s}dvartheta (x)=sint_{1}^{infty }vartheta (x)x^{-s-1},dx=sint _{0}^{infty }vartheta (e^{t})e^{-st},dt.} O método de Newman prova o PNT mostrando a integral {estilo de exibição I = int _{0}^{infty }deixei({fratura {vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1certo),dt.} converge, e, portanto, o integrando vai a zero como {estilo de exibição para infty } , qual é o PNT. No geral, a convergência da integral imprópria não implica que o integrando vá a zero no infinito, já que pode oscilar, mas desde {estilo de exibição vartheta } está aumentando, é fácil mostrar neste caso.

Para mostrar a convergência de {estilo de exibição I} , por {displaystyle Re z>0} deixar {estilo de exibição g_{T}(z)=int_{0}^{T}f(t)e^{-zt},dt} e {estilo de exibição g(z)=int_{0}^{infty }f(t)e^{-zt},dt} Onde {estilo de exibição f(t)={fratura {vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1} então {displaystyle lim _{Tto e cinquenta }g_{T}(z)=g(z)={fratura {Phi (s)}{s}}-{fratura {1}{s-1}}quad quad {texto{Onde}}quadra z=s-1} que é igual a uma função holomorfa na linha {estilo de exibição Re z = 0} .

A convergência da integral {estilo de exibição I} , e assim o PNT, é provado mostrando que {displaystyle lim _{Tto e cinquenta }g_{T}(0)=g(0)} . Isso envolve mudança de ordem de limites, pois pode ser escrito {estilo de texto lim _{Tto e cinquenta }lim_{zto 0}g_{T}(z)=lim_{zto 0}lim_{Tto e cinquenta }g_{T}(z)} e, portanto, classificado como um teorema Tauberiano.

A diferença {estilo de exibição g(0)-g_{T}(0)} é expressa usando a fórmula integral de Cauchy e, em seguida, mostra-se pequena para {estilo de exibição T} grande estimando o integrando. Fixar {displaystyle R>0} e {displaystyle delta >0} de tal modo que {estilo de exibição g(z)} é holomorfo na região onde {estilo de exibição |z|leq R{texto{ e }}Re zgeq -delta } , e deixar {estilo de exibição C} ser o limite desta região. Desde 0 fica no interior da região, A fórmula integral de Cauchy dá {estilo de exibição g(0)-g_{T}(0)={fratura {1}{2pi eu}}int_{C}deixei(g(z)-g_{T}(z)certo){fratura {dz}{z}}={fratura {1}{2pi eu}}int_{C}deixei(g(z)-g_{T}(z)certo)F(z){fratura {dz}{z}}} Onde {estilo de exibição F(z)=e^{zT}deixei(1+{fratura {z^{2}}{R^{2}}}certo)} é o fator introduzido por Newman, o que não altera a integral, pois {estilo de exibição F} é inteiro e {estilo de exibição F(0)=1} .

Para estimar a integral, quebrar o contorno {estilo de exibição C} em duas partes, {estilo de exibição C=C_{+}+C_{-}} Onde {estilo de exibição C_{+}=Ccap esquerda{z,vert ,Re z>0right}} e {estilo de exibição C_{-}tampa esquerda{Re zleq 0right}} . Então {estilo de exibição g(0)-g_{T}(0)=int_{C_{+}}int_{T}^{infty }H(t,z)dtdz-int_{C_{-}}int_{0}^{T}H(t,z)dtdz+int_{C_{-}}g(z)F(z){fratura {dz}{2pi de}}} Onde {estilo de exibição H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2pi eu} . Desde {estilo de exibição vartheta (x)/x} , e, portanto {estilo de exibição f(t)} , é limitado, deixar {estilo de exibição B} ser um limite superior para o valor absoluto de {estilo de exibição f(t)} . Isso associado à estimativa {estilo de exibição |F|leq 2exp(TRe de)|Re z|/R} por {estilo de exibição |z|=R} dá que a primeira integral em valor absoluto é {estilo de exibição leq B/R} . O integrando sobre {estilo de exibição C_{-}} na segunda integral é inteiro, pelo teorema integral de Cauchy, o contorno {estilo de exibição C_{-}} pode ser modificado para um semicírculo de raio {estilo de exibição R} no semiplano esquerdo sem alterar a integral, e o mesmo argumento da primeira integral dá o valor absoluto da segunda integral é {estilo de exibição leq B/R} . Finalmente, de locação {estilo de exibição Tto infty } , a terceira integral vai a zero desde {estilo de exibição e^{zT}} e, portanto {estilo de exibição F} vai a zero no contorno. Combinando as duas estimativas e o limite, obtenha {displaystyle limsup _{Tto e cinquenta }|g(0)-g_{T}(0)|leq {fratura {2B}{R}}.} Isso vale para qualquer {estilo de exibição R} assim {displaystyle lim _{Tto e cinquenta }g_{T}(0)=g(0)} , e o PNT segue.

Função de contagem de primos em termos da integral logarítmica Em uma nota manuscrita em uma reimpressão de seu 1838 papel "Sobre o uso de séries infinitas na teoria dos números", que ele enviou para Gauss, Dirichlet conjecturou (sob uma forma ligeiramente diferente, apelando para uma série em vez de uma integral) que uma aproximação ainda melhor para π(x) é dado pela função integral logarítmica de deslocamento Li(x), definido por {nome do operador de estilo de exibição {Li} (x)=int_{2}^{x}{fratura {dt}{log t}}=nome do operador {li} (x)-nome do operador {li} (2).} De fato, essa integral é fortemente sugestiva da noção de que o "densidade" de primos em torno de t deve ser 1 / log t. Esta função está relacionada com o logaritmo pela expansão assintótica {nome do operador de estilo de exibição {Li} (x)sim {fratura {x}{log x}}soma _{k=0}^{infty }{fratura {k!}{(log x)^{k}}}={fratura {x}{log x}}+{fratura {x}{(log x)^{2}}}+{fratura {2x}{(log x)^{3}}}+cdots } Então, o teorema dos números primos também pode ser escrito como π(x) ~ Li(x). Na verdade, em outro papel em 1899 de la Vallée Poussin provou que {estilo de exibição pi (x)=nome do operador {Li} (x)+Oleft(carro^{-uma{quadrado {log x}}}certo)quadrilátero {texto{Como }}xto infty } para alguma constante positiva a, onde O(...) é a grande notação O. Isso foi melhorado para {estilo de exibição pi (x)=nome do operador {li} (x)+Oleft(xexp esquerda(-{fratura {UMA(log x)^{fratura {3}{5}}}{(log log x)^{fratura {1}{5}}}}certo)certo)} Onde {estilo de exibição A = 0,2098} .[13] Dentro 2016, Trudgian provou um limite superior explícito para a diferença entre {estilo de exibição pi (x)} e {nome do operador de estilo de exibição {li} (x)} : {estilo de exibição {grande |}pi (x)-nome do operador {li} (x){grande |}leq 0.2795{fratura {x}{(log x)^{3/4}}}exp esquerda(-{quadrado {fratura {log x}{6.455}}}certo)} por {estilo de exibição xgeq 229} .[14] A conexão entre a função zeta de Riemann e π(x) é uma das razões pelas quais a hipótese de Riemann tem uma importância considerável na teoria dos números: se estabelecido, renderia uma estimativa muito melhor do erro envolvido no teorema dos números primos do que está disponível hoje. Mais especificamente, Helge von Koch mostrou em 1901[15] que se a hipótese de Riemann for verdadeira, o termo de erro na relação acima pode ser melhorado para {estilo de exibição pi (x)=nome do operador {Li} (x)+Oleft({quadrado {x}}log xright)} (esta última estimativa é de fato equivalente à hipótese de Riemann). A constante envolvida na grande notação O foi estimada em 1976 por Lowell Schoenfeld:[16] assumindo a hipótese de Riemann, {estilo de exibição {grande |}pi (x)-nome do operador {li} (x){grande |}<{frac {{sqrt {x}}log x}{8pi }}} for all x ≥ 2657. He also derived a similar bound for the Chebyshev prime-counting function ψ: {displaystyle {big |}psi (x)-x{big |}<{frac {{sqrt {x}}(log x)^{2}}{8pi }}} for all x ≥ 73.2 . This latter bound has been shown to express a variance to mean power law (when regarded as a random function over the integers) and 1 /  f  noise and to also correspond to the Tweedie compound Poisson distribution. (The Tweedie distributions represent a family of scale invariant distributions that serve as foci of convergence for a generalization of the central limit theorem.[17]) The logarithmic integral li(x) is larger than π(x) for "small" values of x. This is because it is (in some sense) counting not primes, but prime powers, where a power pn of a prime p is counted as 1 /  n  of a prime. This suggests that li(x) should usually be larger than π(x) by roughly {displaystyle {tfrac {1}{2}}operatorname {li} ({sqrt {x}}) ,} and in particular should always be larger than π(x). However, in 1914, J. E. Littlewood proved that {displaystyle pi (x)-operatorname {li} (x) } changes sign infinitely often.[18] The first value of x where π(x) exceeds li(x) is probably around x ~ 10316 ; see the article on Skewes' number for more details. (On the other hand, the offset logarithmic integral Li(x) is smaller than π(x) already for x = 2; indeed, Li(2) = 0, while π(2) = 1.) Elementary proofs In the first half of the twentieth century, some mathematicians (notably G. H. Hardy) believed that there exists a hierarchy of proof methods in mathematics depending on what sorts of numbers (integers, reals, complex) a proof requires, and that the prime number theorem (PNT) is a "deep" theorem by virtue of requiring complex analysis.[19] This belief was somewhat shaken by a proof of the PNT based on Wiener's tauberian theorem, though this could be set aside if Wiener's theorem were deemed to have a "depth" equivalent to that of complex variable methods. In March 1948, Atle Selberg established, by "elementary" means, the asymptotic formula {displaystyle vartheta (x)log(x)+sum limits _{pleq x}{log(p)} vartheta left({frac {x}{p}}right)=2xlog(x)+O(x)} where {displaystyle vartheta (x)=sum limits _{pleq x}{log(p)}} for primes p.[20] By July of that year, Selberg and Paul Erdős had each obtained elementary proofs of the PNT, both using Selberg's asymptotic formula as a starting point.[19][21] These proofs effectively laid to rest the notion that the PNT was "deep" in that sense, and showed that technically "elementary" methods were more powerful than had been believed to be the case. On the history of the elementary proofs of the PNT, including the Erdős–Selberg priority dispute, see an article by Dorian Goldfeld.[19] There is some debate about the significance of Erdős and Selberg's result. There is no rigorous and widely accepted definition of the notion of elementary proof in number theory, so it is not clear exactly in what sense their proof is "elementary". Although it does not use complex analysis, it is in fact much more technical than the standard proof of PNT. One possible definition of an "elementary" proof is "one that can be carried out in first-order Peano arithmetic." There are number-theoretic statements (for example, the Paris–Harrington theorem) provable using second order but not first-order methods, but such theorems are rare to date. Erdős and Selberg's proof can certainly be formalized in Peano arithmetic, and in 1994, Charalambos Cornaros and Costas Dimitracopoulos proved that their proof can be formalized in a very weak fragment of PA, namely IΔ0 + exp.[22] However, this does not address the question of whether or not the standard proof of PNT can be formalized in PA. Computer verifications In 2005, Avigad et al. employed the Isabelle theorem prover to devise a computer-verified variant of the Erdős–Selberg proof of the PNT.[23] This was the first machine-verified proof of the PNT. Avigad chose to formalize the Erdős–Selberg proof rather than an analytic one because while Isabelle's library at the time could implement the notions of limit, derivative, and transcendental function, it had almost no theory of integration to speak of.[23]: 19  In 2009, John Harrison employed HOL Light to formalize a proof employing complex analysis.[24] By developing the necessary analytic machinery, including the Cauchy integral formula, Harrison was able to formalize "a direct, modern and elegant proof instead of the more involved 'elementary' Erdős–Selberg argument". Prime number theorem for arithmetic progressions Let πd,a(x) denote the number of primes in the arithmetic progression a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... that are less than x. Dirichlet and Legendre conjectured, and de la Vallée Poussin proved, that if a and d are coprime, then {displaystyle pi _{d,a}(x)sim {frac {operatorname {Li} (x)}{varphi (d)}} ,} where φ is Euler's totient function. In other words, the primes are distributed evenly among the residue classes [a] modulo d with gcd(a, d) = 1 . This is stronger than Dirichlet's theorem on arithmetic progressions (which only states that there is an infinity of primes in each class) and can be proved using similar methods used by Newman for his proof of the prime number theorem.[25] The Siegel–Walfisz theorem gives a good estimate for the distribution of primes in residue classes. Bennett et al. [26] proved the following estimate that has explicit constants A and B (Theorem 1.3): Let d {displaystyle geq 3} be an integer and let a be an integer that is coprime to d. Then there are positive constants A and B such that {displaystyle left|pi _{d,a}(x)-{frac { operatorname {Li} (x) }{ varphi (d) }}right|<{frac {A x}{ (log x)^{2} }}quad {text{ for all }}quad xgeq B ,} where {displaystyle A={frac {1}{ 840 }}quad {text{ if }}quad 3leq dleq 10^{4}quad {text{ and }}quad A={frac {1}{ 160 }}quad {text{ if }}quad d>10^{4}~,} e {estilo de exibição B=8cdot 10^{9}quadrilátero {texto{ E se }}quad 3leq dleq 10^{5}quadrilátero {texto{ e }}quad B = exp( 0.03 {quadrado {d }} (registro {d})^{3} )quadrilátero {texto{ E se }}quad d>10^{5} .} Raça de números primos Gráfico da função {estilo de exibição pi (x;4,3)-pi (x;4,1) } para n ≤ 30000 Embora tenhamos em particular {estilo de exibição pi _{4,1}(x)simpi_{4,3}(x) ,} empiricamente os primos congruentes a 3 são mais numerosos e estão quase sempre à frente neste "corrida de números primos"; a primeira reversão ocorre em x = 26861.[27]:1–2  No entanto, Littlewood mostrou em 1914[27]:2  que existem infinitas mudanças de sinal para a função {estilo de exibição pi _{4,1}(x)-pi_{4,3}(x)~,} então a liderança na corrida muda para frente e para trás infinitas vezes. O fenômeno que π4,3(x) está à frente na maior parte do tempo é chamado de viés de Chebyshev. A corrida dos números primos se generaliza para outros módulos e é objeto de muitas pesquisas; Pál Turán perguntou se é sempre o caso que π(x;uma,c) e π(x;b,c) troque de lugar quando a e b são primos primos de c.[28] Granville e Martin fazem uma exposição e pesquisa completas.[27] Limites não assintóticos na função de contagem de números primos O teorema dos números primos é um resultado assintótico. Dá um limite ineficaz em π(x) como consequência direta da definição do limite: for all ε > 0, there is an S such that for all x > S, {estilo de exibição (1-varepsilon ){fratura {x}{log x}};<;pi (x);<;(1+varepsilon ){frac {x}{log x}};.} However, better bounds on π(x) are known, for instance Pierre Dusart's {displaystyle {frac {x}{log x}}left(1+{frac {1}{log x}}right);<;pi (x);<;{frac {x}{log x}}left(1+{frac {1}{log x}}+{frac {2.51}{(log x)^{2}}}right);.} The first inequality holds for all x ≥ 599 and the second one for x ≥ 355991.[29] A weaker but sometimes useful bound for x ≥ 55 is[30] {displaystyle {frac {x}{log x+2}};<;pi (x);<;{frac {x}{log x-4}};.} In Pierre Dusart's thesis there are stronger versions of this type of inequality that are valid for larger x. Later in 2010, Dusart proved:[31] {displaystyle {begin{aligned}{frac {x}{log x-1}};&<;pi (x)&&{text{ for }}xgeq 5393;,{text{ and }}\pi (x);&<;{frac {x}{log x-1.1}}&&{text{ for }}xgeq 60184;.end{aligned}}} The proof by de la Vallée Poussin implies the following: For every ε > 0, there is an S such that for all x > S, {estilo de exibição {fratura {x}{log x-(1-varepsilon )}};<;pi (x);<;{frac {x}{log x-(1+varepsilon )}};.} Approximations for the nth prime number As a consequence of the prime number theorem, one gets an asymptotic expression for the nth prime number, denoted by pn: {displaystyle p_{n}sim nlog n.} A better approximation is[32] {displaystyle {frac {p_{n}}{n}}=log n+log log n-1+{frac {log log n-2}{log n}}-{frac {(log log n)^{2}-6log log n+11}{2(log n)^{2}}}+oleft({frac {1}{(log n)^{2}}}right).} Again considering the 2×1017th prime number 8512677386048191063, this gives an estimate of 8512681315554715386; the first 5 digits match and relative error is about 0.00005%. Rosser's theorem states that {displaystyle p_{n}>aluguel n.} Isso pode ser melhorado pelo seguinte par de limites:[30] [33] {estilo de exibição log n + log log n-1<{frac {p_{n}}{n}}

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