Preimage theorem

Preimage theorem In mathematics, particularly in the field of differential topology, the preimage theorem is a variation of the implicit function theorem concerning the preimage of particular points in a manifold under the action of a smooth map.[1][2] Statement of Theorem Definition. Deixar {estilo de exibição f:Xº Y} be a smooth map between manifolds. We say that a point {displaystyle yin Y} is a regular value of {estilo de exibição f} if for all {displaystyle xin f^{-1}(y)} the map {displaystyle df_{x}:T_{x}Xto T_{y}S} is surjective. Aqui, {estilo de exibição T_{x}X} e {estilo de exibição T_{y}S} are the tangent spaces of {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} at the points {estilo de exibição x} e {displaystyle y.} Teorema. Deixar {estilo de exibição f:Xº Y} be a smooth map, e deixar {displaystyle yin Y} be a regular value of {displaystyle f.} Então {estilo de exibição f^{-1}(y)} is a submanifold of {displaystyle X.} Se {displaystyle yin {texto{Eu estou}}(f),} then the codimension of {estilo de exibição f^{-1}(y)} is equal to the dimension of {estilo de exibição Y.} Também, the tangent space of {estilo de exibição f^{-1}(y)} no {estilo de exibição x} é igual a {displaystyle ker(df_{x}).} There is also a complex version of this theorem:[3] Teorema. Deixar {estilo de exibição X^{n}} e {estilo de exibição Y^{m}} be two complex manifolds of complex dimensions {displaystyle n>m.} Deixar {estilo de exibição g:Xº Y} be a holomorphic map and let {displaystyle yin {texto{Eu estou}}(g)} be such that {estilo de exibição {texto{classificação}}(dg_{x})=m} para todos {displaystyle xin g^{-1}(y).} Então {estilo de exibição g^{-1}(y)} is a complex submanifold of {estilo de exibição X} of complex dimension {displaystyle n-m.} See also Fiber (matemática) – Set of all points in a function's domain that all map to some single given point Level set – Subset of a function's domain on which its value is equal References ^ Tu, Loring W. (2010), "9.3 The Regular Level Set Theorem", An Introduction to Manifolds, Springer, pp. 105–106, ISBN 9781441974006. ^ Banyaga, Augustin (2004), "Corolário 5.9 (The Preimage Theorem)", Lectures on Morse Homology, Texts in the Mathematical Sciences, volume. 29, Springer, p. 130, ISBN 9781402026959. ^ Ferrari, Michele (2013), "Teorema 2.5", Complex manifolds - Lecture notes based on the course by Lambertus Van Geemen (PDF). ocultar manifolds vte (Glossário) Conceitos básicos Atlas de variedades topológicas Variedades diferenciadas/suaves Estrutura diferencial Atlas suaveSubvariedade Variedades riemannianasMapa suaveSubmersãoPushforwardEspaço tangenteForma diferencialCampo vetorial Principais resultados (Lista) Índice de Atiyah–SingerDarboux'sDe Rham'sFrobeniusGeneralized StokesHopf–RinowNoether'sSard'sWhitney incorporação Mapas CurvaDifeomorfismo LocalGeodésicoMapa exponencial na teoria de LieFoliaçãoImersãoCurva integral Derivada de LieSeçãoSubmersão Tipos de variedades Fechadas(Quase) Complexo(Quase) ContatoFiberedFinslerFlatG-structureHadamardHermitianHyperbolicKählerKenmotsuLie group Lie álgebraVariedade com limiteOrientadoParalelizávelPoissonPrimeQuaternionicHypercomplex(Pseudo−, Sub-) Riemannian Rizza(Quase) SymplecticTame Tensors Vectors DistributionLie bracketPushforwardTangent space bundleTorsionVector fieldVector flow Covectors Closed/ExactCovariant derivadoCotangent space bundleDe Rham cohomologyForma diferencialValor vetorialDerivado exteriorProduto interiorPullbackRicci curvature flowRiemann curvature tensorRiemann densidade do campoTensor formaVolume product Wedge Bundles AdjointAffineAssociatedCotangentDualFiber(Companhia) álgebra FibrationJetLie(Estábulo) NormalPrincipalSpinorSubbundleTangentTensorVector Connections AffineCartanEhresmannFormGeneralizedKoszulLevi-CivitaPrincipalVectorParallel transport Related Classification of manifoldsGauge theoryHistoryMorse theoryMoving frameSingularity theory Generalizations Banach manifoldDiffeologyDiffietyFréchet manifoldK-theoryOrbifoldSecondary calculus over commutative algebrasSheafStratifoldSupermanifoldTopologically stratified space This topology-related article is a stub. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-a.

Categorias: Topology stubsTheorems in differential topology