# Plancherel theorem

Plancherel theorem In mathematics, the Plancherel theorem (sometimes called the Parseval–Plancherel identity[1]) is a result in harmonic analysis, proven by Michel Plancherel in 1910. It states that the integral of a function's squared modulus is equal to the integral of the squared modulus of its frequency spectrum. Questo è, Se {stile di visualizzazione f(X)} is a function on the real line, e {stile di visualizzazione {widehat {f}}(xi )} is its frequency spectrum, poi {displaystyle int _{-infty }^{infty }|f(X)|^{2},dx=int _{-infty }^{infty }|{widehat {f}}(xi )|^{2},dxi } A more precise formulation is that if a function is in both Lp spaces {stile di visualizzazione L^{1}(mathbb {R} )} e {stile di visualizzazione L^{2}(mathbb {R} )} , then its Fourier transform is in {stile di visualizzazione L^{2}(mathbb {R} )} , and the Fourier transform map is an isometry with respect to the L2 norm. This implies that the Fourier transform map restricted to {stile di visualizzazione L^{1}(mathbb {R} )cap L^{2}(mathbb {R} )} has a unique extension to a linear isometric map {stile di visualizzazione L^{2}(mathbb {R} )mapsto L^{2}(mathbb {R} )} , sometimes called the Plancherel transform. This isometry is actually a unitary map. In effect, this makes it possible to speak of Fourier transforms of quadratically integrable functions.

Plancherel's theorem remains valid as stated on n-dimensional Euclidean space {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . The theorem also holds more generally in locally compact abelian groups. There is also a version of the Plancherel theorem which makes sense for non-commutative locally compact groups satisfying certain technical assumptions. This is the subject of non-commutative harmonic analysis.

The unitarity of the Fourier transform is often called Parseval's theorem in science and engineering fields, based on an earlier (but less general) result that was used to prove the unitarity of the Fourier series.

Due to the polarization identity, one can also apply Plancherel's theorem to the {stile di visualizzazione L^{2}(mathbb {R} )} inner product of two functions. Questo è, Se {stile di visualizzazione f(X)} e {stile di visualizzazione g(X)} are two {stile di visualizzazione L^{2}(mathbb {R} )} functions, e {stile di visualizzazione {matematico {P}}} denotes the Plancherel transform, poi {displaystyle int _{-infty }^{infty }f(X){sopra {g(X)}},dx=int _{-infty }^{infty }({matematico {P}}f)(xi ){sopra {({matematico {P}}g)(xi )}},dxi ,} e se {stile di visualizzazione f(X)} e {stile di visualizzazione g(X)} are furthermore {stile di visualizzazione L^{1}(mathbb {R} )} functions, poi {stile di visualizzazione ({matematico {P}}f)(xi )={widehat {f}}(xi )=int _{-infty }^{infty }f(X)e^{-2pi ixi x},dx,} e {stile di visualizzazione ({matematico {P}}g)(xi )={widehat {g}}(xi )=int _{-infty }^{infty }g(X)e^{-2pi ixi x},dx,} Così {displaystyle int _{-infty }^{infty }f(X){sopra {g(X)}},dx=int _{-infty }^{infty }{widehat {f}}(xi ){sopra {{widehat {g}}(xi )}},dxi .} See also Plancherel theorem for spherical functions References ^ Cohen-Tannoudji, Claudio; Dupont-Roc, Giacomo; Grynberg, Gilbert (1997). Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley. p. 11. ISBN 0-471-18433-0. Plancherel, Michele (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877. Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars. Alla sua età, K. (1968), Analisi funzionale, Casa editrice Springer. link esterno "Plancherel theorem", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] Plancherel's Theorem on Mathworld hide vte Functional analysis (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazioneinsieme bilanciatoTeoria di Choquettopologia deboleDistanza di Banach–MazurTeoria di Tomita–TakesakiQuesto articolo relativo all'analisi matematica è uno stub. Puoi aiutare Wikipedia espandendolo.

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