Teorema de Pickands–Balkema–De Haan

Teorema de Pickands–Balkema–De Haan (Redirecionado do teorema de Pickands–Balkema–de Haan) Ir para a navegação Ir para a pesquisa O teorema de Pickands–Balkema–De Haan é freqüentemente chamado de segundo teorema na teoria dos valores extremos. Dá a distribuição de cauda assintótica de uma variável aleatória X, quando a verdadeira distribuição F de X é desconhecida. Ao contrário do primeiro teorema (o teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko) na teoria dos valores extremos, o interesse aqui está nos valores acima de um limite.

Conteúdo 1 Função de distribuição de excesso condicional 2 Declaração 3 Casos especiais de distribuição de Pareto generalizada 4 Assuntos relacionados 5 Referências Função de distribuição de excesso condicional Se considerarmos uma função de distribuição desconhecida {estilo de exibição F} de uma variável aleatória {estilo de exibição X} , estamos interessados ​​em estimar a função de distribuição condicional {estilo de exibição F_{você}} da variável {estilo de exibição X} acima de um certo limite {estilo de exibição você} . Esta é a chamada função de distribuição de excesso condicional, definido como {estilo de exibição F_{você}(y)=P(X-folha y|X>u)={fratura {F(u+y)-F(você)}{1-F(você)}}} por {estilo de exibição 0leq yleq x_{F}-você} , Onde {estilo de exibição x_{F}} é o ponto final direito finito ou infinito da distribuição subjacente {estilo de exibição F} . A função {estilo de exibição F_{você}} descreve a distribuição do valor em excesso sobre um limite {estilo de exibição você} , desde que o limite seja excedido.

Letra de declaração {estilo de exibição (X_{1},X_{2},ldots )} ser uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas, e deixar {estilo de exibição F_{você}} ser sua função de distribuição de excesso condicional. Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974) propôs que, para uma grande classe de funções de distribuição subjacentes {estilo de exibição F} , e grande {estilo de exibição você} , {estilo de exibição F_{você}} é bem aproximado pela distribuição de Pareto generalizada. Aquilo é: {estilo de exibição F_{você}(y)seta para a direita G_{k,sigma }(y),{texto{ Como }}urightarrow infty } Onde {estilo de exibição G_{k,sigma }(y)=1-(1+ky/sigma )^{-1/k}} , E se {estilo de exibição kneq 0} {estilo de exibição G_{k,sigma }(y)=1-e^{-y/sigma }} , E se {estilo de exibição k=0.} Here σ > 0, e y ≥ 0 quando k ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ −σ/k quando k < 0. Since a special case of the generalized Pareto distribution is a power-law, the Pickands–Balkema–De Haan theorem is sometimes used to justify the use of a power-law for modeling extreme events. Still, many important distributions, such as the normal and log-normal distributions, do not have extreme-value tails that are asymptotically power-law. Special cases of generalized Pareto distribution Exponential distribution with mean {displaystyle sigma } , if k = 0. Uniform distribution on {displaystyle [0,sigma ]} , if k = -1. Pareto distribution, if k > 0. Assuntos relacionados Distribuição estável Referências Balkema, UMA., e DeHaan, eu. (1974). "Tempo de vida residual em grande idade", Anais de Probabilidade, 2, 792–804. Pickands, J. (1975). "Inferência estatística usando estatísticas de ordem extrema", Anais de Estatística, 3, 119–131. Categorias: Teoremas de probabilidade Dados de valores extremos Caudas de distribuições de probabilidade