Teorema di Pickands–Balkema–De Haan

Teorema di Pickands–Balkema–De Haan (Reindirizzamento dal teorema di Pickands-Balkema-de Haan) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Il teorema di Pickands–Balkema–De Haan è spesso chiamato il secondo teorema nella teoria dei valori estremi. Dà la distribuzione della coda asintotica di una variabile casuale X, quando la vera distribuzione F di X è sconosciuta. A differenza del primo teorema (il teorema di Fisher-Tippett-Gnedenko) nella teoria dei valori estremi, l'interesse qui è nei valori al di sopra di una soglia.

Contenuti 1 Funzione di distribuzione condizionale in eccesso 2 Dichiarazione 3 Casi particolari di distribuzione paretiana generalizzata 4 Argomenti correlati 5 Riferimenti Funzione di distribuzione in eccesso condizionale Se consideriamo una funzione di distribuzione sconosciuta {stile di visualizzazione F} di una variabile casuale {stile di visualizzazione X} , siamo interessati a stimare la funzione di distribuzione condizionale {stile di visualizzazione F_{tu}} della variabile {stile di visualizzazione X} al di sopra di una certa soglia {stile di visualizzazione u} . Questa è la cosiddetta funzione di distribuzione in eccesso condizionale, definito come {stile di visualizzazione F_{tu}(y)=P(X-foglia y|X>u)={frac {F(u+y)-F(tu)}{1-F(tu)}}} per {stile di visualizzazione 0leq yleq x_{F}-tu} , dove {stile di visualizzazione x_{F}} è l'estremo destro finito o infinito della distribuzione sottostante {stile di visualizzazione F} . La funzione {stile di visualizzazione F_{tu}} descrive la distribuzione del valore eccedente su una soglia {stile di visualizzazione u} , dato che la soglia è superata.

Dichiarazione Let {stile di visualizzazione (X_{1},X_{2},ldot )} essere una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, e lascia {stile di visualizzazione F_{tu}} sia la loro funzione di distribuzione in eccesso condizionata. Pickand (1975), Balkema e De Haan (1974) lo ha proposto per un'ampia classe di funzioni di distribuzione sottostanti {stile di visualizzazione F} , e grande {stile di visualizzazione u} , {stile di visualizzazione F_{tu}} è ben approssimata dalla distribuzione di Pareto generalizzata. Questo è: {stile di visualizzazione F_{tu}(y)freccia destra G_{K,sigma }(y),{testo{ come }}urightarrow infty } dove {stile di visualizzazione G_{K,sigma }(y)=1-(1+ky/sigma )^{-1/K}} , Se {displaystyle kneq 0} {stile di visualizzazione G_{K,sigma }(y)=1-e^{-y/sigma }} , Se {stile di visualizzazione k=0.} Here σ > 0, e y ≥ 0 quando k ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ −σ/k quando k < 0. Since a special case of the generalized Pareto distribution is a power-law, the Pickands–Balkema–De Haan theorem is sometimes used to justify the use of a power-law for modeling extreme events. Still, many important distributions, such as the normal and log-normal distributions, do not have extreme-value tails that are asymptotically power-law. Special cases of generalized Pareto distribution Exponential distribution with mean {displaystyle sigma } , if k = 0. Uniform distribution on {displaystyle [0,sigma ]} , if k = -1. Pareto distribution, if k > 0. Argomenti correlati Distribuzione stabile Riferimenti Balkema, UN., e DeHaan, l. (1974). "Tempo di vita residuo alla grande età", Annali di probabilità, 2, 792–804. Pickand, J. (1975). "Inferenza statistica utilizzando statistiche di ordine estremo", Annali di statistica, 3, 119–131. Categorie: Teoremi di probabilità Dati di valore estremo Code di distribuzioni di probabilità