Phragmén–Lindelöf principle

Phragmén–Lindelöf principle (Redirected from Phragmén–Lindelöf theorem) Jump to navigation Jump to search In complex analysis, the Phragmén–Lindelöf principle (or method), first formulated by Lars Edvard Phragmén (1863–1937) and Ernst Leonard Lindelöf (1870–1946) dentro 1908, is a technique which employs an auxiliary, parameterized function to prove the boundedness of a holomorphic function {estilo de exibição f} (ou seja, {estilo de exibição |f(z)|0} e {estilo de exibição |fh_{épsilon }|leq M} on the boundary {displaystyle partial S_{matemática {bdd} }} of an appropriate bounded subregion {estilo de exibição S_{matemática {bdd} }subset S} ; e (ii): the asymptotic behavior of {displaystyle fh_{épsilon }} allows us to establish that {estilo de exibição |fh_{épsilon }|leq M} por {displaystyle zin Ssetminus {overline {S_{matemática {bdd} }}}} (ou seja, the unbounded part of {estilo de exibição S} outside the closure of the bounded subregion). This allows us to apply the maximum modulus principle to first conclude that {estilo de exibição |fh_{épsilon }|leq M} sobre {estilo de exibição {overline {S_{matemática {bdd} }}}} and then extend the conclusion to all {displaystyle zin S} . Finalmente, we let {displaystyle epsilon to 0} de modo a {estilo de exibição f(z)h_{épsilon }(z)to f(z)} para cada {displaystyle zin S} in order to conclude that {estilo de exibição |f|leq M} sobre {estilo de exibição S} .

In the literature of complex analysis, there are many examples of the Phragmén–Lindelöf principle applied to unbounded regions of differing types, and also a version of this principle may be applied in a similar fashion to subharmonic and superharmonic functions.

Example of application To continue the example above, we can impose a growth condition on a holomorphic function {estilo de exibição f} that prevents it from "blowing up" and allows the Phragmén–Lindelöf principle to be applied. To this end, we now include the condition that {estilo de exibição |f(z)|0} the auxiliary function {estilo de exibição h_{épsilon }} por {textstyle h_{épsilon }(z)=e^{-épsilon (e^{bz}+e^{-bz})}} . Além disso, for a given {displaystyle a>0} , we define {estilo de exibição S_{uma}} to be the open rectangle in the complex plane enclosed within the vertices {estilo de exibição {apm ipi /2,-apm ipi /2}} . Agora, fix {displaystyle epsilon >0} and consider the function {displaystyle fh_{épsilon }} . It can be shown that {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|para 0} Como {estilo de exibição |Re (z)|to infty } . This allows us to find an {estilo de exibição x_{0}} de tal modo que {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|leq 1} em qualquer momento {displaystyle zin {overline {S}}} e {estilo de exibição |Re (z)|geq x_{0}} . Porque {estilo de exibição S_{x_{0}}} is a bounded region, e {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|leq 1} para todos {displaystyle zin partial S_{x_{0}}} , the maximum modulus principle implies that {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|leq 1} para todos {displaystyle zin {overline {S_{x_{0}}}}} . Desde {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|leq 1} em qualquer momento {displaystyle zin S} e {estilo de exibição |Re (z)|>x_{0}} , {estilo de exibição |f(z)h_{épsilon }(z)|leq 1} in fact holds for all {displaystyle zin S} . Finalmente, Porque {displaystyle fh_{épsilon }to f} Como {displaystyle epsilon to 0} , concluimos que {estilo de exibição |f(z)|leq 1} para todos {displaystyle zin S} . Q.E.D.

Phragmén–Lindelöf principle for a sector in the complex plane A particularly useful statement proved using the Phragmén–Lindelöf principle bounds holomorphic functions on a sector of the complex plane if it is bounded on its boundary. This statement can be used to give a complex analytic proof of the Hardy's uncertainty principle, which states that a function and its Fourier transform cannot both decay faster than exponentially.[3] Proposição. Deixar {estilo de exibição F} be a function that is holomorphic in a sector {displaystyle S=left{z,{grande |},alfa 0} , então (1) holds also for all {displaystyle zin S} .

Remarks The condition (2) can be relaxed to {displaystyle liminf _{rto infty }e aí _{alfa

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