# Teorema de existência de Peano

Peano existence theorem Differential equations Navier–Stokes differential equations used to simulate airflow around an obstruction Scope show Fields Classification show Types show Relation to processes Solution show Existence and uniqueness show General topics show Solution methods People show List vte In mathematics, specifically in the study of ordinary differential equations, the Peano existence theorem, Peano theorem or Cauchy–Peano theorem, named after Giuseppe Peano and Augustin-Louis Cauchy, is a fundamental theorem which guarantees the existence of solutions to certain initial value problems.

Conteúdo 1 História 2 Teorema 3 Prova 4 Related theorems 5 Notas 6 References History Peano first published the theorem in 1886 with an incorrect proof.[1] Dentro 1890 he published a new correct proof using successive approximations.[2] Theorem Let {estilo de exibição D} be an open subset of {estilo de exibição mathbb {R} vezes mathbb {R} } com {displaystyle fcolon Dto mathbb {R} } a continuous function and {displaystyle y'(x)=fleft(x,y(x)certo)} a continuous, explicit first-order differential equation defined on D, then every initial value problem {displaystyle yleft(x_{0}certo)=y_{0}} for f with {estilo de exibição (x_{0},s_{0})em D} has a local solution {displaystyle zcolon Ito mathbb {R} } Onde {estilo de exibição I} is a neighbourhood of {estilo de exibição x_{0}} dentro {estilo de exibição mathbb {R} } , de tal modo que {displaystyle z'(x)=fleft(x,z(x)certo)} para todos {estilo de exibição xin I} .[3] The solution need not be unique: one and the same initial value {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} may give rise to many different solutions {estilo de exibição com} .

Proof By replacing {estilo de exibição y} com {displaystyle y-y_{0}} , {estilo de exibição x} com {displaystyle x-x_{0}} , we may assume {estilo de exibição x_{0}=y_{0}=0} . Como {estilo de exibição D} is open there is a rectangle {estilo de exibição R=[-x_{1},x_{1}]vezes [-s_{1},s_{1}]subset D} .

Porque {estilo de exibição R} is compact and {estilo de exibição f} é contínuo, temos {displaystyle textstyle sup _{R}|f|leq C

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