Orbit (control theory)

Orbit (control theory) The notion of orbit of a control system used in mathematical control theory is a particular case of the notion of orbit in group theory.[1][2][3] Conteúdo 1 Definição 2 Orbit theorem (Nagano–Sussmann) 3 Corolário (Rashevsky–Chow theorem) 4 Veja também 5 Referências 6 Further reading Definition Let {estilo de exibição { }{ponto {q}}=f(q,você)} seja um {estilo de exibição {matemática {C}}^{infty }} control system, Onde {estilo de exibição { q}} belongs to a finite-dimensional manifold {estilo de exibição M} e {estilo de exibição você} belongs to a control set {estilo de exibição U} . Consider the family {estilo de exibição {matemática {F}}={f(cdot ,você)mid uin U}} and assume that every vector field in {estilo de exibição {matemática {F}}} is complete. Para cada {displaystyle fin {matemática {F}}} and every real {estilo de exibição t} , denote by {estilo de exibição e^{tf}} the flow of {estilo de exibição f} at time {estilo de exibição t} .

The orbit of the control system {estilo de exibição { }{ponto {q}}=f(q,você)} through a point {estilo de exibição q_{0}in M} is the subset {estilo de exibição {matemática {O}}_{q_{0}}} do {estilo de exibição M} definido por {estilo de exibição {matemática {O}}_{q_{0}}={e^{t_{k}f_{k}}circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}circ cdots circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})mid kin mathbb {N} , t_{1},pontos ,t_{k}em matemática {R} , f_{1},pontos ,f_{k}dentro {matemática {F}}}.} Remarks The difference between orbits and attainable sets is that, whereas for attainable sets only forward-in-time motions are allowed, both forward and backward motions are permitted for orbits. Em particular, if the family {estilo de exibição {matemática {F}}} is symmetric (ou seja, {displaystyle fin {matemática {F}}} se e apenas se {displaystyle -fin {matemática {F}}} ), then orbits and attainable sets coincide.

The hypothesis that every vector field of {estilo de exibição {matemática {F}}} is complete simplifies the notations but can be dropped. In this case one has to replace flows of vector fields by local versions of them.

Orbit theorem (Nagano–Sussmann) Each orbit {estilo de exibição {matemática {O}}_{q_{0}}} is an immersed submanifold of {estilo de exibição M} .

The tangent space to the orbit {estilo de exibição {matemática {O}}_{q_{0}}} at a point {estilo de exibição q} is the linear subspace of {estilo de exibição T_{q}M} spanned by the vectors {estilo de exibição P_{*}f(q)} Onde {estilo de exibição P_{*}f} denotes the pushforward of {estilo de exibição f} por {estilo de exibição P} , {estilo de exibição f} belongs to {estilo de exibição {matemática {F}}} e {estilo de exibição P} is a diffeomorphism of {estilo de exibição M} of the form {estilo de exibição e^{t_{k}f_{k}}circ cdots circ e^{t_{1}f_{1}}} com {displaystyle kin mathbb {N} , t_{1},pontos ,t_{k}em matemática {R} } e {estilo de exibição f_{1},pontos ,f_{k}dentro {matemática {F}}} .

If all the vector fields of the family {estilo de exibição {matemática {F}}} are analytic, então {estilo de exibição T_{q}{matemática {O}}_{q_{0}}=matrm {Lie} _{q},{matemática {F}}} Onde {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}} is the evaluation at {estilo de exibição q} of the Lie algebra generated by {estilo de exibição {matemática {F}}} with respect to the Lie bracket of vector fields. Por outro lado, the inclusion {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}subset T_{q}{matemática {O}}_{q_{0}}} holds true.

Corolário (Rashevsky–Chow theorem) artigo principal: Chow–Rashevskii theorem If {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}=T_{q}M} para cada {displaystyle qin M} e se {estilo de exibição M} está conectado, then each orbit is equal to the whole manifold {estilo de exibição M} .

See also Frobenius theorem (differential topology) References ^ Jurdjevic, Velimir (1997). Geometric control theory. Cambridge University Press. pp. xviii+492. ISBN 0-521-49502-4.[permanent dead link] ^ Sussmann, Héctor J.; Jurdjevic, Velimir (1972). "Controllability of nonlinear systems". J. Differential Equations. 12 (1): 95-116. doi:10.1016/0022-0396(72)90007-1. ^ Sussmann, Héctor J. (1973). "Orbits of families of vector fields and integrability of distributions". Trans. América. Matemática. Soc. Sociedade Americana de Matemática. 180: 171-188. doi:10.2307/1996660. JSTOR 1996660. Further reading Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). "The Orbit Theorem and its Applications". Control Theory from the Geometric Viewpoint. Berlim: Springer. pp. 63–80. ISBN 3-540-21019-9. Categorias: Control theory