Orbit (control theory)

Orbit (control theory) The notion of orbit of a control system used in mathematical control theory is a particular case of the notion of orbit in group theory.[1][2][3] Contenuti 1 Definizione 2 Orbit theorem (Nagano–Sussmann) 3 Corollario (Rashevsky–Chow theorem) 4 Guarda anche 5 Riferimenti 6 Further reading Definition Let {stile di visualizzazione { }{punto {q}}=f(q,tu)} essere un {stile di visualizzazione {matematico {C}}^{infty }} control system, dove {stile di visualizzazione { q}} belongs to a finite-dimensional manifold {stile di visualizzazione M} e {stile di visualizzazione u} belongs to a control set {stile di visualizzazione U} . Consider the family {stile di visualizzazione {matematico {F}}={f(cdot ,tu)mid uin U}} and assume that every vector field in {stile di visualizzazione {matematico {F}}} is complete. Per ogni {displaystyle fin {matematico {F}}} and every real {stile di visualizzazione t} , denote by {stile di visualizzazione e^{tf}} the flow of {stile di visualizzazione f} a tempo {stile di visualizzazione t} .

The orbit of the control system {stile di visualizzazione { }{punto {q}}=f(q,tu)} through a point {stile di visualizzazione q_{0}in M} is the subset {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{q_{0}}} di {stile di visualizzazione M} definito da {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{q_{0}}={e^{t_{K}f_{K}}circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}circ cdots circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})mid kin mathbb {N} , t_{1},punti ,t_{K}in matematica bb {R} , f_{1},punti ,f_{K}in {matematico {F}}}.} Remarks The difference between orbits and attainable sets is that, whereas for attainable sets only forward-in-time motions are allowed, both forward and backward motions are permitted for orbits. In particolare, if the family {stile di visualizzazione {matematico {F}}} is symmetric (cioè., {displaystyle fin {matematico {F}}} se e solo se {displaystyle -fin {matematico {F}}} ), then orbits and attainable sets coincide.

The hypothesis that every vector field of {stile di visualizzazione {matematico {F}}} is complete simplifies the notations but can be dropped. In this case one has to replace flows of vector fields by local versions of them.

Orbit theorem (Nagano–Sussmann) Each orbit {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{q_{0}}} is an immersed submanifold of {stile di visualizzazione M} .

The tangent space to the orbit {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{q_{0}}} at a point {stile di visualizzazione q} is the linear subspace of {stile di visualizzazione T_{q}M} spanned by the vectors {stile di visualizzazione P_{*}f(q)} dove {stile di visualizzazione P_{*}f} denotes the pushforward of {stile di visualizzazione f} di {stile di visualizzazione P} , {stile di visualizzazione f} belongs to {stile di visualizzazione {matematico {F}}} e {stile di visualizzazione P} is a diffeomorphism of {stile di visualizzazione M} della forma {stile di visualizzazione e^{t_{K}f_{K}}circ cdots circ e^{t_{1}f_{1}}} insieme a {displaystyle kin mathbb {N} , t_{1},punti ,t_{K}in matematica bb {R} } e {stile di visualizzazione f_{1},punti ,f_{K}in {matematico {F}}} .

If all the vector fields of the family {stile di visualizzazione {matematico {F}}} are analytic, poi {stile di visualizzazione T_{q}{matematico {o}}_{q_{0}}= matematica {Lie} _{q},{matematico {F}}} dove {displaystyle matematica {Lie} _{q},{matematico {F}}} is the evaluation at {stile di visualizzazione q} of the Lie algebra generated by {stile di visualizzazione {matematico {F}}} with respect to the Lie bracket of vector fields. Altrimenti, the inclusion {displaystyle matematica {Lie} _{q},{matematico {F}}subset T_{q}{matematico {o}}_{q_{0}}} holds true.

Corollario (Rashevsky–Chow theorem) articolo principale: Chow–Rashevskii theorem If {displaystyle matematica {Lie} _{q},{matematico {F}}=T_{q}M} per ogni {displaystyle qin M} e se {stile di visualizzazione M} è connesso, then each orbit is equal to the whole manifold {stile di visualizzazione M} .

See also Frobenius theorem (differential topology) References ^ Jurdjevic, Velimir (1997). Geometric control theory. Cambridge University Press. pp. xviii+492. ISBN 0-521-49502-4.[permanent dead link] ^ Sussmann, Héctor J.; Jurdjevic, Velimir (1972). "Controllability of nonlinear systems". J. Differential Equations. 12 (1): 95–116. doi:10.1016/0022-0396(72)90007-1. ^ Sussmann, Héctor J. (1973). "Orbits of families of vector fields and integrability of distributions". Trans. Amer. Matematica. soc. Società matematica americana. 180: 171–188. doi:10.2307/1996660. JSTOR 1996660. Further reading Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). "The Orbit Theorem and its Applications". Control Theory from the Geometric Viewpoint. Berlino: Springer. pp. 63–80. ISBN 3-540-21019-9. Categorie: Control theory