Open mapping theorem (análise funcional)

Open mapping theorem (análise funcional) Na análise funcional, the open mapping theorem, also known as the Banach–Schauder theorem or the Banach theorem[1] (named after Stefan Banach and Juliusz Schauder), is a fundamental result which states that if a bounded or continuous linear operator between Banach spaces is surjective then it is an open map.

Conteúdo 1 Clássico (Banach space) Formato 1.1 Resultados relacionados 1.2 Consequências 2 Generalizações 2.1 Consequências 2.2 Webbed spaces 3 Veja também 4 Referências 5 Bibliography Classical (Banach space) form Open mapping theorem for Banach spaces (Rudin 1973, Teorema 2.11) — If {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} are Banach spaces and {estilo de exibição A:Xº Y} is a surjective continuous linear operator, então {estilo de exibição A} is an open map (isso é, E se {estilo de exibição U} is an open set in {estilo de exibição X,} então {estilo de exibição A(você)} is open in {estilo de exibição Y} ).

This proof uses the Baire category theorem, and completeness of both {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} is essential to the theorem. The statement of the theorem is no longer true if either space is just assumed to be a normed space, but is true if {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} are taken to be Fréchet spaces.

show Proof Related results Theorem[2] — Let {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} be Banach spaces, deixar {estilo de exibição B_{X}} e {estilo de exibição B_{S}} denote their open unit balls, e deixar {estilo de exibição T:Xº Y} be a bounded linear operator. Se {displaystyle delta >0} then among the following four statements we have {estilo de exibição (1)implica (2)implica (3)implica (4)} (with the same {delta de estilo de exibição } ) {estilo de exibição à esquerda|T^{*}^{*}certo|geq delta left|^{*}certo|} para todos {displaystyle y^{*}in Y^{*}} ; {estilo de exibição {overline {Tleft(B_{X}certo)}}supseteq delta B_{S}} ; {estilo de exibição {Tleft(B_{X}certo)}supseteq delta B_{S}} ; {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} T=Y} (isso é, {estilo de exibição T} is surjective).

Além disso, E se {estilo de exibição T} is surjective then (1) holds for some {displaystyle delta >0} Consequences The open mapping theorem has several important consequences: Se {estilo de exibição A:Xº Y} is a bijective continuous linear operator between the Banach spaces {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y,} then the inverse operator {estilo de exibição A^{-1}:Y para X} is continuous as well (this is called the bounded inverse theorem).[3] Se {estilo de exibição A:Xº Y} is a linear operator between the Banach spaces {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y,} and if for every sequence {estilo de exibição à esquerda(x_{n}certo)} dentro {estilo de exibição X} com {estilo de exibição x_{n}para 0} e {displaystyle Ax_{n}to y} segue que {estilo de exibição y=0,} então {estilo de exibição A} é contínuo (the closed graph theorem).[4] Generalizations Local convexity of {estilo de exibição X} ou {estilo de exibição Y}  is not essential to the proof, but completeness is: the theorem remains true in the case when {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} are F-spaces. Além disso, the theorem can be combined with the Baire category theorem in the following manner: Teorema[5] — Let {estilo de exibição X} be a F-space and {estilo de exibição Y} a topological vector space. Se {estilo de exibição A:Xº Y} is a continuous linear operator, qualquer então {estilo de exibição A(X)} is a meager set in {estilo de exibição Y,} ou {estilo de exibição A(X)=Y.} No último caso, {estilo de exibição A} is an open mapping and {estilo de exibição Y} is also an F-space.

Além disso, in this latter case if {estilo de exibição N} is the kernel of {estilo de exibição A,} then there is a canonical factorization of {estilo de exibição A} na forma {displaystyle Xto X/N{overset {alfa }{para }}S} Onde {displaystyle X/N} is the quotient space (also an F-space) do {estilo de exibição X} by the closed subspace {displaystyle N.} The quotient mapping {displaystyle Xto X/N} is open, and the mapping {alfa de estilo de exibição } is an isomorphism of topological vector spaces.[6] Open mapping theorem[7] — Let {estilo de exibição A:Xº Y} be a surjective linear map from an complete pseudometrizable TVS {estilo de exibição X} onto a TVS {estilo de exibição Y} and suppose that at least one of the following two conditions is satisfied: {estilo de exibição Y} is a Baire space, ou {estilo de exibição X} is locally convex and {estilo de exibição Y} is a barrelled space, Se {estilo de exibição A} is a closed linear operator then {estilo de exibição A} is an open mapping. Se {estilo de exibição A} is a continuous linear operator and {estilo de exibição Y} is Hausdorff then {estilo de exibição A} é (a closed linear operator and thus also) an open mapping.

Open mapping theorem for continuous maps[7] — Let {estilo de exibição A:Xº Y} be a continuous linear operator from an complete pseudometrizable TVS {estilo de exibição X} onto a Hausdorff TVS {estilo de exibição Y.} Se {nome do operador de estilo de exibição {Eu estou} UMA} is nonmeager in {estilo de exibição Y} então {estilo de exibição A:Xº Y} is a surjective open map and {estilo de exibição Y} is a complete pseudometrizable TVS.

The open mapping theorem can also be stated as Theorem[8] — Let {estilo de exibição X} e {estilo de exibição Y} be two F-spaces. Then every continuous linear map of {estilo de exibição X} onto {estilo de exibição Y} is a TVS homomorphism, where a linear map {estilo de exibição você:Xº Y} is a topological vector space (TV) homomorphism if the induced map {estilo de exibição {chapéu {você}}:X/ker(você)to Y} is a TVS-isomorphism onto its image.

Nearly/Almost open linear maps A linear map {estilo de exibição A:Xº Y} between two topological vector spaces (TV) is called a nearly open map (or sometimes, an almost open map) if for every neighborhood {estilo de exibição U} of the origin in the domain, the closure of its image {nome do operador de estilo de exibição {cl} UMA(você)} is a neighborhood of the origin in {estilo de exibição Y.} [9] Many authors use a different definition of "nearly/almost open map" that requires that the closure of {estilo de exibição A(você)} be a neighborhood of the origin in {estilo de exibição A(X)} rather than in {estilo de exibição Y,} [9] but for surjective maps these definitions are equivalent. A bijective linear map is nearly open if and only if its inverse is continuous.[9] Every surjective linear map from locally convex TVS onto a barrelled TVS is nearly open.[10] The same is true of every surjective linear map from a TVS onto a Baire TVS.[10] Open mapping theorem[11] — If a closed surjective linear map from a complete pseudometrizable TVS onto a Hausdorff TVS is nearly open then it is open.

Consequences Theorem[12] — If {estilo de exibição A:Xº Y} is a continuous linear bijection from a complete Pseudometrizable topological vector space (TV) em uma Hausdorff TVS que é um espaço Baire, então {estilo de exibição A:Xº Y} is a homeomorphism (e, portanto, um isomorfismo de TVSs).

Webbed spaces Main article: Webbed space Webbed spaces are a class of topological vector spaces for which the open mapping theorem and the closed graph theorem hold.

See also Almost open linear map Bounded inverse theorem Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Closed graph theorem (análise funcional) – Theorems connecting continuity to closure of graphs Open mapping theorem (complex analysis) Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Ursescu theorem – Generalization of closed graph, open mapping, and uniform boundedness theorem Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Trèves 2006, p. 166. ^ Rudin 1991, p. 100. ^ Rudin 1973, Corolário 2.12. ^ Rudin 1973, Teorema 2.15. ^ Rudin 1991, Teorema 2.11. ^ Dieudonné 1970, 12.16.8. ^ Saltar para: a b Narici & Beckenstein 2011, p. 468. ^ Trèves 2006, p. 170 ^ Saltar para: a b c Narici & Beckenstein 2011, pp. 466. ^ Saltar para: a b Narici & Beckenstein 2011, pp. 467. ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 466−468. ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliography Adasch, Norberto; Ernest, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espaços vetoriais topológicos: The Theory Without Convexity Conditions. Notas de aula em matemática. Volume. 639. Berlim Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003. Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (em francês). Volume. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Arquivado a partir do original (PDF) sobre 2014-01-11. Recuperado 2020-07-11. Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Textos de Graduação em Matemática. Volume. 15. Nova york: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401. Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Espaços vetoriais topológicos: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlim Nova York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. Conway, John (1990). A course in functional analysis. Textos de Graduação em Matemática. Volume. 96 (2ª edição). Nova york: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908. Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press Edwards, Robert E. (1995). Análise funcional: Teoria e aplicações. Nova york: Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138. Grothendieck, Alexandre (1973). Espaços vetoriais topológicos. Translated by Chaljub, Orlando. Nova york: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098. Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaços Vetoriais Topológicos I. Noções básicas de ciências matemáticas. Volume. 159. Traduzido por Garling, D.J.H. Nova york: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SENHOR 0248498. OCLC 840293704. Narinas, Lourenço; Beckenstein, Eduardo (2011). Espaços vetoriais topológicos. Matemática pura e aplicada (Second ed.). Boca Raton, FL: Imprensa CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espaços vetoriais topológicos. Cambridge Tracts in Mathematics. Volume. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. Rudin, Walter (1973). Análise funcional. International Series in Pure and Applied Mathematics. Volume. 25 (First ed.). Nova york, Nova Iorque: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259. Rudin, Walter (1991). Análise funcional. International Series in Pure and Applied Mathematics. Volume. 8 (Second ed.). Nova york, Nova Iorque: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos. GTM. Volume. 8 (Second ed.). Nova york, Nova Iorque: Springer Nova York Impressão Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. Swartz, Carlos (1992). An introduction to Functional Analysis. Nova york: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067. Trier, Francisco (2006) [1967]. Espaços vetoriais topológicos, Distribuições e Kernels. Mineola, NOVA IORQUE.: Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. Wilansky, Alberto (2013). Métodos modernos em espaços vetoriais topológicos. Mineola, Nova york: Publicações de Dover, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

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