Open mapping theorem (analisi funzionale)

Open mapping theorem (analisi funzionale) Nell'analisi funzionale, the open mapping theorem, also known as the Banach–Schauder theorem or the Banach theorem[1] (named after Stefan Banach and Juliusz Schauder), is a fundamental result which states that if a bounded or continuous linear operator between Banach spaces is surjective then it is an open map.

Contenuti 1 Classico (Banach space) modulo 1.1 Risultati correlati 1.2 Conseguenze 2 generalizzazioni 2.1 Conseguenze 2.2 Webbed spaces 3 Guarda anche 4 Riferimenti 5 Bibliography Classical (Banach space) form Open mapping theorem for Banach spaces (Rudino 1973, Teorema 2.11) — If {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} are Banach spaces and {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a surjective continuous linear operator, poi {stile di visualizzazione A} is an open map (questo è, Se {stile di visualizzazione U} is an open set in {stile di visualizzazione X,} poi {stile di visualizzazione A(u)} is open in {stile di visualizzazione Y} ).

This proof uses the Baire category theorem, and completeness of both {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} is essential to the theorem. The statement of the theorem is no longer true if either space is just assumed to be a normed space, but is true if {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} are taken to be Fréchet spaces.

show Proof Related results Theorem[2] - Permettere {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} be Banach spaces, permettere {stile di visualizzazione B_{X}} e {stile di visualizzazione B_{Y}} denote their open unit balls, e lascia {stile di visualizzazione T:Xth Y} be a bounded linear operator. Se {displaystyle delta >0} then among the following four statements we have {stile di visualizzazione (1)implica (2)implica (3)implica (4)} (with the same {delta dello stile di visualizzazione } ) {stile di visualizzazione a sinistra|T^{*}si^{*}Giusto|geq delta left|si^{*}Giusto|} per tutti {displaystyle y^{*}in Y^{*}} ; {stile di visualizzazione {sopra {Tleft(B_{X}Giusto)}}supseteq delta B_{Y}} ; {stile di visualizzazione {Tleft(B_{X}Giusto)}supseteq delta B_{Y}} ; {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} T=Y} (questo è, {stile di visualizzazione T} is surjective).

Inoltre, Se {stile di visualizzazione T} is surjective then (1) holds for some {displaystyle delta >0} Consequences The open mapping theorem has several important consequences: Se {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a bijective continuous linear operator between the Banach spaces {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y,} then the inverse operator {stile di visualizzazione A^{-1}:da Y a X} is continuous as well (this is called the bounded inverse theorem).[3] Se {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a linear operator between the Banach spaces {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y,} and if for every sequence {stile di visualizzazione a sinistra(X_{n}Giusto)} in {stile di visualizzazione X} insieme a {stile di visualizzazione x_{n}a 0} e {displaystyle Ax_{n}to y} ne consegue che {stile di visualizzazione y=0,} poi {stile di visualizzazione A} è continuo (the closed graph theorem).[4] Generalizations Local convexity of {stile di visualizzazione X} o {stile di visualizzazione Y}  is not essential to the proof, but completeness is: the theorem remains true in the case when {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} are F-spaces. Inoltre, the theorem can be combined with the Baire category theorem in the following manner: Teorema[5] - Permettere {stile di visualizzazione X} be a F-space and {stile di visualizzazione Y} a topological vector space. Se {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a continuous linear operator, then either {stile di visualizzazione A(X)} is a meager set in {stile di visualizzazione Y,} o {stile di visualizzazione A(X)=Y.} Nel secondo caso, {stile di visualizzazione A} is an open mapping and {stile di visualizzazione Y} is also an F-space.

Inoltre, in this latter case if {stile di visualizzazione N} is the kernel of {stile di visualizzazione A,} then there is a canonical factorization of {stile di visualizzazione A} Nella forma {displaystyle Xto X/N{trascurato {alfa }{a }}Y} dove {displaystyle X/N} is the quotient space (also an F-space) di {stile di visualizzazione X} by the closed subspace {displaystyle N.} The quotient mapping {displaystyle Xto X/N} is open, and the mapping {displaystyle alfa } is an isomorphism of topological vector spaces.[6] Open mapping theorem[7] - Permettere {stile di visualizzazione A:Xth Y} be a surjective linear map from an complete pseudometrizable TVS {stile di visualizzazione X} onto a TVS {stile di visualizzazione Y} and suppose that at least one of the following two conditions is satisfied: {stile di visualizzazione Y} is a Baire space, o {stile di visualizzazione X} is locally convex and {stile di visualizzazione Y} is a barrelled space, Se {stile di visualizzazione A} is a closed linear operator then {stile di visualizzazione A} is an open mapping. Se {stile di visualizzazione A} is a continuous linear operator and {stile di visualizzazione Y} is Hausdorff then {stile di visualizzazione A} è (a closed linear operator and thus also) an open mapping.

Open mapping theorem for continuous maps[7] - Permettere {stile di visualizzazione A:Xth Y} be a continuous linear operator from an complete pseudometrizable TVS {stile di visualizzazione X} onto a Hausdorff TVS {stile di visualizzazione Y.} Se {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Io sono} UN} is nonmeager in {stile di visualizzazione Y} poi {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a surjective open map and {stile di visualizzazione Y} is a complete pseudometrizable TVS.

The open mapping theorem can also be stated as Theorem[8] - Permettere {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} be two F-spaces. Then every continuous linear map of {stile di visualizzazione X} onto {stile di visualizzazione Y} is a TVS homomorphism, where a linear map {stile di visualizzazione u:Xth Y} è uno spazio vettoriale topologico (TV) homomorphism if the induced map {stile di visualizzazione {cappello {tu}}:X/ker(tu)to Y} is a TVS-isomorphism onto its image.

Nearly/Almost open linear maps A linear map {stile di visualizzazione A:Xth Y} between two topological vector spaces (TV) is called a nearly open map (or sometimes, an almost open map) if for every neighborhood {stile di visualizzazione U} of the origin in the domain, the closure of its image {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {cl} UN(u)} è un quartiere dell'origine in {stile di visualizzazione Y.} [9] Many authors use a different definition of "nearly/almost open map" that requires that the closure of {stile di visualizzazione A(u)} essere un quartiere dell'origine in {stile di visualizzazione A(X)} rather than in {stile di visualizzazione Y,} [9] but for surjective maps these definitions are equivalent. A bijective linear map is nearly open if and only if its inverse is continuous.[9] Every surjective linear map from locally convex TVS onto a barrelled TVS is nearly open.[10] The same is true of every surjective linear map from a TVS onto a Baire TVS.[10] Open mapping theorem[11] — If a closed surjective linear map from a complete pseudometrizable TVS onto a Hausdorff TVS is nearly open then it is open.

Consequences Theorem[12] — If {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a continuous linear bijection from a complete Pseudometrizable topological vector space (TV) su un Hausdorff TVS che è uno spazio Baire, poi {stile di visualizzazione A:Xth Y} is a homeomorphism (e quindi un isomorfismo di TVS).

Webbed spaces Main article: Webbed space Webbed spaces are a class of topological vector spaces for which the open mapping theorem and the closed graph theorem hold.

See also Almost open linear map Bounded inverse theorem Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Closed graph theorem (analisi funzionale) – Theorems connecting continuity to closure of graphs Open mapping theorem (complex analysis) Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Ursescu theorem – Generalization of closed graph, open mapping, and uniform boundedness theorem Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Trèves 2006, p. 166. ^ Rudino 1991, p. 100. ^ Rudino 1973, Corollario 2.12. ^ Rudino 1973, Teorema 2.15. ^ Rudino 1991, Teorema 2.11. ^ Dieudonné 1970, 12.16.8. ^ Salta su: a b Narici & Beckenstein 2011, p. 468. ^ Trèves 2006, p. 170 ^ Salta su: a b c Narici & Beckenstein 2011, pp. 466. ^ Salta su: a b Narici & Beckenstein 2011, pp. 467. ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 466−468. ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliography Adasch, Norberto; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Spazi vettoriali topologici: The Theory Without Convexity Conditions. Appunti delle lezioni in matematica. vol. 639. Berlino New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003. Banach, Stefano (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (in francese). vol. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archiviato dall'originale (PDF) Su 2014-01-11. Recuperato 2020-07-11. Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Testi di laurea in Matematica. vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401. Bourbaki, Nicola (1987) [1981]. Spazi vettoriali topologici: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlino New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. Conway, John (1990). A course in functional analysis. Testi di laurea in Matematica. vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908. Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press Edwards, Roberto E. (1995). Analisi funzionale: Teoria e applicazioni. New York: Pubblicazioni di Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138. Grothendieck, Alessandro (1973). Spazi vettoriali topologici. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098. Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Spazi vettoriali topologici I. Fondamenti di scienze matematiche. vol. 159. Tradotto da Garling, DJH. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SIG 0248498. OCLC 840293704. Narici, Lawrence; Beckenstein, Edoardo (2011). Spazi vettoriali topologici. Matematica pura e applicata (Seconda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Spazi vettoriali topologici. Cambridge Tracts in Mathematics. vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. Rudino, Walter (1973). Analisi funzionale. Serie internazionale di matematica pura e applicata. vol. 25 (First ed.). New York, New York: McGraw-Hill Scienze/Ingegneria/Matematica. ISBN 9780070542259. Rudino, Walter (1991). Analisi funzionale. Serie internazionale di matematica pura e applicata. vol. 8 (Seconda ed.). New York, New York: McGraw-Hill Scienze/Ingegneria/Matematica. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Schäfer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Spazi vettoriali topologici. GTM. vol. 8 (Seconda ed.). New York, New York: Springer New York Colophon Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. Swartz, Carlo (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067. Treviri, Francesco (2006) [1967]. Spazi vettoriali topologici, Distribuzioni e kernel. Mineola, N.Y.: Pubblicazioni di Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. Wilansky, Alberto (2013). Metodi moderni in spazi vettoriali topologici. Mineola, New York: Pubblicazioni di Dover, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

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