Open mapping theorem (analyse fonctionnelle)

Open mapping theorem (analyse fonctionnelle) En analyse fonctionnelle, the open mapping theorem, also known as the Banach–Schauder theorem or the Banach theorem[1] (named after Stefan Banach and Juliusz Schauder), is a fundamental result which states that if a bounded or continuous linear operator between Banach spaces is surjective then it is an open map.

Contenu 1 Classique (Banach space) formulaire 1.1 Résultats associés 1.2 Conséquences 2 Généralisations 2.1 Conséquences 2.2 Webbed spaces 3 Voir également 4 Références 5 Bibliography Classical (Banach space) form Open mapping theorem for Banach spaces (Roudine 1973, Théorème 2.11) — If {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} are Banach spaces and {style d'affichage A:Xe Y} is a surjective continuous linear operator, alors {style d'affichage A} is an open map (C'est, si {style d'affichage U} is an open set in {style d'affichage X,} alors {style d'affichage A(tu)} is open in {style d'affichage Y} ).

This proof uses the Baire category theorem, and completeness of both {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} is essential to the theorem. The statement of the theorem is no longer true if either space is just assumed to be a normed space, but is true if {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} are taken to be Fréchet spaces.

show Proof Related results Theorem[2] — Let {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} être des espaces de Banach, laisser {style d'affichage B_{X}} et {style d'affichage B_{Oui}} denote their open unit balls, et laissez {style d'affichage T:Xe Y} be a bounded linear operator. Si {displaystyle delta >0} then among the following four statements we have {style d'affichage (1)implique (2)implique (3)implique (4)} (with the same {delta de style d'affichage } ) {style d'affichage à gauche|T^{*}y ^{*}droit|geq delta left|y ^{*}droit|} pour tous {displaystyle y^{*}in Y^{*}} ; {style d'affichage {surligner {Tleft(B_{X}droit)}}supseteq delta B_{Oui}} ; {style d'affichage {Tleft(B_{X}droit)}supseteq delta B_{Oui}} ; {nom de l'opérateur de style d'affichage {Je suis} T=Y} (C'est, {style d'affichage T} is surjective).

Par ailleurs, si {style d'affichage T} is surjective then (1) holds for some {displaystyle delta >0} Consequences The open mapping theorem has several important consequences: Si {style d'affichage A:Xe Y} is a bijective continuous linear operator between the Banach spaces {style d'affichage X} et {style d'affichage Y,} then the inverse operator {style d'affichage A^{-1}:Yà X} is continuous as well (this is called the bounded inverse theorem).[3] Si {style d'affichage A:Xe Y} is a linear operator between the Banach spaces {style d'affichage X} et {style d'affichage Y,} and if for every sequence {style d'affichage à gauche(X_{n}droit)} dans {style d'affichage X} avec {style d'affichage x_{n}à 0} et {displaystyle Ax_{n}to y} il s'ensuit que {style d'affichage y=0,} alors {style d'affichage A} est continue (the closed graph theorem).[4] Generalizations Local convexity of {style d'affichage X} ou {style d'affichage Y}  is not essential to the proof, but completeness is: the theorem remains true in the case when {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} are F-spaces. Par ailleurs, the theorem can be combined with the Baire category theorem in the following manner: Théorème[5] — Let {style d'affichage X} be a F-space and {style d'affichage Y} a topological vector space. Si {style d'affichage A:Xe Y} is a continuous linear operator, then either {style d'affichage A(X)} is a meager set in {style d'affichage Y,} ou {style d'affichage A(X)=Y.} Dans le dernier cas, {style d'affichage A} is an open mapping and {style d'affichage Y} is also an F-space.

Par ailleurs, in this latter case if {displaystyle N} is the kernel of {style d'affichage A,} then there is a canonical factorization of {style d'affichage A} sous la forme {displaystyle Xto X/N{overset {alpha }{à }}Oui} où {displaystyle X/N} is the quotient space (also an F-space) de {style d'affichage X} by the closed subspace {displaystyle N.} The quotient mapping {displaystyle Xto X/N} is open, and the mapping {style d'affichage alpha } is an isomorphism of topological vector spaces.[6] Open mapping theorem[7] — Let {style d'affichage A:Xe Y} be a surjective linear map from an complete pseudometrizable TVS {style d'affichage X} onto a TVS {style d'affichage Y} and suppose that at least one of the following two conditions is satisfied: {style d'affichage Y} is a Baire space, ou {style d'affichage X} is locally convex and {style d'affichage Y} is a barrelled space, Si {style d'affichage A} is a closed linear operator then {style d'affichage A} is an open mapping. Si {style d'affichage A} is a continuous linear operator and {style d'affichage Y} is Hausdorff then {style d'affichage A} est (a closed linear operator and thus also) an open mapping.

Open mapping theorem for continuous maps[7] — Let {style d'affichage A:Xe Y} be a continuous linear operator from an complete pseudometrizable TVS {style d'affichage X} onto a Hausdorff TVS {style d'affichage Y.} Si {nom de l'opérateur de style d'affichage {Je suis} UN} is nonmeager in {style d'affichage Y} alors {style d'affichage A:Xe Y} is a surjective open map and {style d'affichage Y} is a complete pseudometrizable TVS.

The open mapping theorem can also be stated as Theorem[8] — Let {style d'affichage X} et {style d'affichage Y} be two F-spaces. Then every continuous linear map of {style d'affichage X} onto {style d'affichage Y} is a TVS homomorphism, where a linear map {style d'affichage u:Xe Y} is a topological vector space (téléviseurs) homomorphism if the induced map {style d'affichage {chapeau {tu}}:X/ker(tu)jouet} is a TVS-isomorphism onto its image.

Nearly/Almost open linear maps A linear map {style d'affichage A:Xe Y} between two topological vector spaces (téléviseurs) is called a nearly open map (or sometimes, an almost open map) if for every neighborhood {style d'affichage U} of the origin in the domain, the closure of its image {nom de l'opérateur de style d'affichage {cl} UN(tu)} is a neighborhood of the origin in {style d'affichage Y.} [9] Many authors use a different definition of "nearly/almost open map" that requires that the closure of {style d'affichage A(tu)} be a neighborhood of the origin in {style d'affichage A(X)} rather than in {style d'affichage Y,} [9] but for surjective maps these definitions are equivalent. A bijective linear map is nearly open if and only if its inverse is continuous.[9] Every surjective linear map from locally convex TVS onto a barrelled TVS is nearly open.[10] The same is true of every surjective linear map from a TVS onto a Baire TVS.[10] Open mapping theorem[11] — If a closed surjective linear map from a complete pseudometrizable TVS onto a Hausdorff TVS is nearly open then it is open.

Consequences Theorem[12] — If {style d'affichage A:Xe Y} is a continuous linear bijection from a complete Pseudometrizable topological vector space (téléviseurs) sur un téléviseur Hausdorff qui est un espace Baire, alors {style d'affichage A:Xe Y} is a homeomorphism (et donc un isomorphisme de TVS).

Webbed spaces Main article: Webbed space Webbed spaces are a class of topological vector spaces for which the open mapping theorem and the closed graph theorem hold.

See also Almost open linear map Bounded inverse theorem Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Closed graph theorem (analyse fonctionnelle) – Theorems connecting continuity to closure of graphs Open mapping theorem (analyse complexe) Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Ursescu theorem – Generalization of closed graph, open mapping, and uniform boundedness theorem Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Trèves 2006, p. 166. ^ Rudin 1991, p. 100. ^ Rudin 1973, Corollaire 2.12. ^ Rudin 1973, Théorème 2.15. ^ Rudin 1991, Théorème 2.11. ^ Dieudonné 1970, 12.16.8. ^ Sauter à: a b Narici & Beckenstein 2011, p. 468. ^ Trèves 2006, p. 170 ^ Sauter à: a b c Narici & Beckenstein 2011, pp. 466. ^ Sauter à: a b Narici & Beckenstein 2011, pp. 467. ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 466−468. ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliography Adasch, norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espaces vectoriels topologiques: The Theory Without Convexity Conditions. Notes de cours en mathématiques. Volume. 639. Berlin New York: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003. Banach, Stéphane (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Théorie des opérations linéaires] (PDF). Monographies mathématiques (en français). Volume. 1. Varsovie: Subvention du Fonds National de la Culture. Zbl 0005.20901. Archivé de l'original (PDF) sur 2014-01-11. Récupéré 2020-07-11. Berberian, Sterling K. (1974). Conférences en analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs. Textes d'études supérieures en mathématiques. Volume. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401. Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Espaces vectoriels topologiques: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. Conway, John (1990). A course in functional analysis. Textes d'études supérieures en mathématiques. Volume. 96 (2sd éd.). New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908. Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Tome II, Academic Press Edwards, Robert E. (1995). Analyse fonctionnelle: Théorie et applications. New York: Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138. Grothendieck, Alexandre (1973). Espaces vectoriels topologiques. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098. Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaces vectoriels topologiques I. Bases des sciences mathématiques. Volume. 159. Traduit par Garling, DJH. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. M 0248498. OCLC 840293704. Narines, Laurent; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques. Mathématiques pures et appliquées (Deuxième éd.). Boca Ratón, Floride: Presse du CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espaces vectoriels topologiques. Cambridge Tracts in Mathematics. Volume. 53. Cambridge England: la presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. Roudine, Walter (1973). Analyse fonctionnelle. Série internationale de mathématiques pures et appliquées. Volume. 25 (Première éd.). New York, New York: McGraw-Hill Sciences/Ingénierie/Maths. ISBN 9780070542259. Roudine, Walter (1991). Analyse fonctionnelle. Série internationale de mathématiques pures et appliquées. Volume. 8 (Deuxième éd.). New York, New York: McGraw-Hill Sciences/Ingénierie/Maths. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Schäfer, Helmut H.; Wolff, Manfred P.. (1999). Espaces vectoriels topologiques. GTM. Volume. 8 (Deuxième éd.). New York, New York: Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067. Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, Distributions et noyaux. Mineola, NEW YORK.: Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. Wilanski, Albert (2013). Méthodes modernes dans les espaces vectoriels topologiques. Mineola, New York: Publications de Douvres, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

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