Théorème des cols de montagne

Théorème des cols Le théorème des cols est un théorème d'existence issu du calcul des variations, à l'origine dû à Antonio Ambrosetti et Paul Rabinowitz.[1] Étant donné certaines conditions sur une fonction, le théorème démontre l'existence d'un point selle. Le théorème est inhabituel en ce qu'il existe de nombreux autres théorèmes concernant l'existence d'extrema, mais peu concernant les points de selle.

Contenu 1 Déclaration 2 Visualisation 3 Formulation plus faible 4 Références 5 Lectures complémentaires Énoncé Les hypothèses du théorème sont: {style d'affichage I} est une fonctionnelle d'un espace de Hilbert H aux réels, {style d'affichage Iin C^{1}(H,mathbb {R} )} et {style d'affichage I'} est Lipschitz continue sur des sous-ensembles bornés de H, {style d'affichage I} satisfait la condition de compacité de Palais-Smale, {style d'affichage I[0]=0} , il existe des constantes positives r et a telles que {style d'affichage I[tu]geek un} si {style d'affichage Vert uVert =r} , et il existe {style d'affichage vin H} avec {displaystyle Vert vVert >r} tel que {style d'affichage I[v]leq 0} .

Si nous définissons: {style d'affichage Gamma ={mathbf {g} en do([0,1];H),verte ,mathbf {g} (0)=0, mathbf {g} (1)=v}} et: {style d'affichage c=inf _{mathbf {g} en gamma }maximum _{0leq tleq 1}je[mathbf {g} (t)],} alors la conclusion du théorème est que c est une valeur critique de I.

Visualisation L'intuition derrière le théorème est dans le nom "col de montagne." Considérez I comme décrivant l'élévation. Ensuite, nous connaissons deux points bas dans le paysage: l'origine parce que {style d'affichage I[0]=0} , et un endroit lointain v où {style d'affichage I[v]leq 0} . Entre les deux se trouve une chaîne de montagnes (à {style d'affichage Vert uVert =r} ) où l'altitude est élevée (higher than a>0). Pour parcourir un chemin g de l'origine à v, il faut passer par-dessus les montagnes, c'est-à-dire, il faut monter puis descendre. Depuis que je suis un peu lisse, il doit y avoir un point critique quelque part entre. (Pensez dans le sens du théorème de la valeur moyenne.) Le col de montagne se trouve le long du chemin qui passe à l'altitude la plus basse à travers les montagnes. A noter que ce col est presque toujours un point sellier.

Pour une preuve, voir section 8.5 d'Evans.

Formulation plus faible Soit {style d'affichage X} être l'espace Banach. Les hypothèses du théorème sont: {style d'affichage Phi en C(X,mathbf {R} )} et avoir un dérivé de Gâteaux {style d'affichage Phi 'colon Xto X^{*}} qui est continue lorsque {style d'affichage X} et {style d'affichage X^{*}} sont dotés respectivement d'une topologie forte et d'une topologie faible*. Il existe {displaystyle r>0} telle qu'on peut trouver certains {style d'affichage |X'|>r} avec {style d'affichage max ,(Phi (0),Phi (X'))

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