# Mazur - Quelle théorie ?

Mazur–Ulam theorem In mathematics, the Mazur–Ulam theorem states that if {style d'affichage V} et {style d'affichage W.} are normed spaces over R and the mapping {displaystyle fcolon Vto W} is a surjective isometry, alors {style d'affichage f} is affine.

It is named after Stanisław Mazur and Stanisław Ulam in response to an issue raised by Stefan Banach. For strictly convex spaces the result is true, and easy, even for isometries which are not necessarily surjective. Dans ce cas, pour toute {style d'affichage u} et {style d'affichage v} dans {style d'affichage V} , et pour tout {style d'affichage t} dans {style d'affichage [0,1]} , denoting {style d'affichage r:=|u-v|_{V}=|F(tu)-F(v)|_{O}} , one has that {displaystyle tu+(1-t)v} is the unique element of {style d'affichage {bar {B}}(v,tr)cap {bar {B}}(tu,(1-t)r)} , alors, being {style d'affichage f} injective, {style d'affichage f(tu+(1-t)v)} is the unique element of {style d'affichage f{gros (}{bar {B}}(v,tr)cap {bar {B}}(tu,(1-t)r{gros )}=f{gros (}{bar {B}}(v,tr){gros )}cap f{gros (}{bar {B}}(tu,(1-t)r{gros )}={bar {B}}{gros (}F(v),tr{gros )}cap {bar {B}}{gros (}F(tu),(1-t)r{gros )}} , à savoir {displaystyle tf(tu)+(1-t)F(v)} . Par conséquent {style d'affichage f} is an affine map. This argument fails in the general case, because in a normed space which is not strictly convex two tangent balls may meet in some flat convex region of their boundary, not just a single point.

References Richard J. Fleming; Jacques E. Jamison (2003). Isometries on Banach Spaces: Function Spaces. Presse du CRC. p. 6. ISBN 1-58488-040-6. Stanisław Mazur; Stanisław Ulam (1932). "Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés". C. R. Acad. SCI. Paris. 194: 946–948. Jussi Väisälä (2003). "A Proof of the Mazur-Ulam Theorem". Le mensuel mathématique américain. 110 (7): 633–635. est ce que je:10.1080/00029890.2003.11920004. S2CID 43171421. External links Nica, Bogdan (2013). "A proof of the Mazur–Ulam theorem assuming f is bijective". arXiv:1306.2380. Väisälä, Jussi. "A proof of the Mazur–Ulam theorem" (PDF). Archivé de l'original (PDF) sur 16 Peut 2018. show vte Sujets de l'espace de Banach show vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Cet article lié à l'analyse mathématique est un bout. Vous pouvez aider Wikipédia en l'agrandissant.

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