Teorema di Looman-Menchoff

Teorema di Looman-Menchoff Nel campo matematico dell'analisi complessa, il teorema di Looman-Menchoff afferma che una funzione continua a valori complessi definita in un insieme aperto del piano complesso è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Si tratta quindi di una generalizzazione di un teorema di Édouard Goursat, che invece di assumere la continuità di f, assume la sua differenziabilità Fréchet se considerata come una funzione da un sottoinsieme di R2 a R2.

Un enunciato completo del teorema è il seguente: Sia Ω un aperto in C e f : Ω → C sia una funzione continua. Supponiamo che le derivate parziali {displaystyle f parziale/x parziale} e {displaystyle f parziale/y parziale} esistono ovunque tranne un insieme numerabile in Ω. Allora f è olomorfo se e solo se soddisfa l'equazione di Cauchy-Riemann: {stile di visualizzazione {frac {parziale f}{parziale {sbarra {z}}}}={frac {1}{2}}sinistra({frac {parziale f}{parziale x}}+io{frac {parziale f}{parziale y}}Giusto)=0.} Esempi Looman ha sottolineato che la funzione data da f(z) = esp(−z−4) per z ≠ 0, f(0) = 0 soddisfa ovunque le equazioni di Cauchy-Riemann ma non è analitica (o addirittura continuo) in z = 0. Ciò mostra che la funzione f deve essere assunta continua nel teorema.

La funzione data da f(z) = z5/|z|4 per z ≠ 0, f(0) = 0 è continua ovunque e soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann in z = 0, ma non è analitico in z = 0 (o altrove). Ciò dimostra che un'ingenua generalizzazione del teorema di Looman-Menchoff a un singolo punto è falsa: Sia f continua in un intorno di un punto z, e tale che {displaystyle f parziale/x parziale} e {displaystyle f parziale/y parziale} esistere alla z. Allora f è olomorfo in z se e solo se soddisfa l'equazione di Cauchy-Riemann in z. Riferimenti Gray, J. D.; Morris, S. UN. (1978), "Quando è una funzione che soddisfa le equazioni analitiche di Cauchy-Riemann?", Il mensile matematico americano (pubblicato aprile 1978), 85 (4): 246–256, doi:10.2307/2321164, JSTOR 2321164. Telaio, H. (1923), "Sulle equazioni differenziali di Cauchy-Riemann", Notizie di Gottinga: 97–108. Menchoff, D. (1936), Condizioni di monogenesi, Parigi. Grasso, P. (1913), "Su differenziali totali e funzioni monogeniche", C. R. Accad. Sci. Parigi, 156: 1820–1822. Narasimhan, Raghavan (2001), Analisi complessa in una variabile, Birkhauser, ISBN 0-8176-4164-5.

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