Teorema di Liouville (Hamiltoniano)

Teorema di Liouville (Hamiltoniano) Questo articolo riguarda il teorema di Liouville nella meccanica hamiltoniana. Per altri usi, vedi il teorema di Liouville. Parte di una serie sulla meccanica classica {stile di visualizzazione {textbf {F}}={frac {d}{dt}}(m{textbf {v}})} Seconda legge del moto CronologiaCronologiaLibri di testo mostra Rami mostra Fondamentali nascondi Formulazioni Leggi del moto di Newton Meccanica analitica Meccanica lagrangiana Meccanica hamiltoniana Meccanica routhiana Equazione di Hamilton-Jacobi Equazione del moto di Appell Meccanica di Koopman-von Neumann mostra Argomenti principali mostra Rotazione mostra Scienziati Portale di fisica Categoria vte In fisica, Teorema di Liouville, prende il nome dal matematico francese Joseph Liouville, è un teorema chiave nella meccanica statistica classica e hamiltoniana. Afferma che la funzione di distribuzione dello spazio delle fasi è costante lungo le traiettorie del sistema, ovvero che la densità dei punti del sistema in prossimità di un dato punto del sistema che viaggia attraverso lo spazio delle fasi è costante nel tempo. Questa densità indipendente dal tempo è in meccanica statistica conosciuta come la classica probabilità a priori.[1] Ci sono risultati matematici correlati nella topologia simplettica e nella teoria ergodica; i sistemi che obbediscono al teorema di Liouville sono esempi di sistemi dinamici incomprimibili.

Esistono estensioni del teorema di Liouville ai sistemi stocastici.[2] Contenuti 1 Equazioni di Liouville 2 Altre formulazioni 2.1 Parentesi di Poisson 2.2 Teoria Ergodica 2.3 Geometria simplettica 2.4 Equazione quantistica di Liouville 3 Esempi 3.1 Volume dello spazio delle fasi SHO 3.2 Oscillatore armonico smorzato 4 Osservazioni 5 Guarda anche 6 Riferimenti 7 Ulteriori letture 8 Collegamenti esterni Equazioni di Liouville Evoluzione di un insieme di sistemi classici nello spazio delle fasi (superiore). Ogni sistema è costituito da una particella massiccia in un pozzo di potenziale unidimensionale (curva rossa, cifra inferiore). Mentre il moto di un singolo membro dell'insieme è dato dalle equazioni di Hamilton, Le equazioni di Liouville descrivono il flusso dell'intera distribuzione. Il movimento è analogo a un colorante in un fluido incomprimibile.

L'equazione di Liouville descrive l'evoluzione nel tempo della funzione di distribuzione dello spazio delle fasi. Sebbene l'equazione sia solitamente indicata come il "Equazione di Liouville", Josiah Willard Gibbs fu il primo a riconoscere l'importanza di questa equazione come equazione fondamentale della meccanica statistica.[3][4] Viene definita equazione di Liouville perché la sua derivazione per sistemi non canonici utilizza un'identità derivata per la prima volta da Liouville in 1838.[5][6] Si consideri un sistema dinamico hamiltoniano con coordinate canoniche {stile di visualizzazione q_{io}} e momenti coniugati {stile di visualizzazione p_{io}} , dove {displaystyle i=1,punti ,n} . Quindi la distribuzione nello spazio delle fasi {stile di visualizzazione rho (p,q)} determina la probabilità {stile di visualizzazione rho (p,q);matematica {d} ^{n}q,matematica {d} ^{n}p} che il sistema si trovi nel volume infinitesimale dello spazio delle fasi {displaystyle matematica {d} ^{n}q,matematica {d} ^{n}p} . L'equazione di Liouville governa l'evoluzione di {stile di visualizzazione rho (p,q;t)} in tempo {stile di visualizzazione t} : {stile di visualizzazione {frac {Asciutto }{dt}}={frac {rho parziale }{parziale t}}+somma _{io=1}^{n}sinistra({frac {rho parziale }{parziale q_{io}}}{punto {q}}_{io}+{frac {rho parziale }{p_ parziale{io}}}{punto {p}}_{io}Giusto)=0.} Le derivate temporali sono indicate da punti, e sono valutati secondo le equazioni di Hamilton per il sistema. Questa equazione dimostra la conservazione della densità nello spazio delle fasi (che era il nome dato da Gibbs al teorema). Il teorema di Liouville afferma che la funzione di distribuzione è costante lungo qualsiasi traiettoria nello spazio delle fasi.

Una dimostrazione del teorema di Liouville utilizza il teorema della divergenza n-dimensionale. Questa prova si basa sul fatto che l'evoluzione di {stile di visualizzazione rho } obbedisce a una versione 2n-dimensionale dell'equazione di continuità: {stile di visualizzazione {frac {rho parziale }{parziale t}}+somma _{io=1}^{n}sinistra({frac {parziale (rho {punto {q}}_{io})}{parziale q_{io}}}+{frac {parziale (rho {punto {p}}_{io})}{p_ parziale{io}}}Giusto)=0.} Questo è, la 3-tupla {stile di visualizzazione (rho ,rho {punto {q}}_{io},rho {punto {p}}_{io})} è una corrente conservata. Si noti che la differenza tra questa e l'equazione di Liouville sono i termini {displaystyle rho sum _{io=1}^{n}sinistra({frac {parziale {punto {q}}_{io}}{parziale q_{io}}}+{frac {parziale {punto {p}}_{io}}{p_ parziale{io}}}Giusto)=rho somma _{io=1}^{n}sinistra({frac {parziale ^{2}H}{parziale q_{io},p_ parziale{io}}}-{frac {parziale ^{2}H}{p_ parziale{io}parziale q_{io}}}Giusto)=0,} dove {stile di visualizzazione H} è l'Hamiltoniana, e sono state utilizzate le equazioni di Hamilton così come la conservazione dell'Hamiltoniano lungo il flusso. Questo è, visualizzare il movimento attraverso lo spazio delle fasi come un "flusso fluido" di punti del sistema, il teorema della derivata convettiva della densità, {stile di visualizzazione drho /dt} , è zero segue dall'equazione di continuità notando che il 'campo di velocità' {stile di visualizzazione ({punto {p}},{punto {q}})} nello spazio delle fasi ha divergenza nulla (che segue dalle relazioni di Hamilton).[7] Un altro esempio è considerare la traiettoria di una nuvola di punti attraverso lo spazio delle fasi. È semplice mostrare che mentre la nuvola si estende in una coordinata: {stile di visualizzazione p_{io}} dire – si restringe nel corrispondente {stile di visualizzazione q^{io}} direzione in modo che il prodotto {stile di visualizzazione Delta p_{io},Deltaq^{io}} rimane costante.

Altre formulazioni Parentesi di Poisson Il teorema di cui sopra è spesso riformulato in termini di parentesi di Poisson as {stile di visualizzazione {frac {rho parziale }{parziale t}}=-{,rho ,H,}} o, in termini di operatore lineare di Liouville o Liouvillian, {displaystyle matematica {io} {widehat {mathbf {l} }}=somma _{io=1}^{n}sinistra[{frac {parziale h}{p_ parziale{io}}}{frac {parziale }{parziale q^{io}}}-{frac {parziale h}{parziale q^{io}}}{frac {parziale }{p_ parziale{io}}}Giusto]={proiettile ,H}} come {stile di visualizzazione {frac {rho parziale }{parziale t}}+{matematica {io} {widehat {mathbf {l} }}}ro = 0.} Teoria ergodica In teoria ergodica e sistemi dinamici, motivato dalle considerazioni fisiche fornite finora, c'è un risultato corrispondente chiamato anche teorema di Liouville. In meccanica hamiltoniana, lo spazio delle fasi è una varietà liscia che viene naturalmente dotata di una misura liscia (localmente, questa misura è la misura di Lebesgue 6n-dimensionale). Il teorema dice che questa misura regolare è invariante rispetto al flusso hamiltoniano. Più generalmente, si può descrivere la condizione necessaria e sufficiente in cui una misura liscia è invariante rispetto a un flusso[citazione necessaria]. Il caso hamiltoniano diventa quindi un corollario.

Geometria simplettica Possiamo anche formulare il Teorema di Liouville in termini di geometria simplettica. Per un dato sistema, possiamo considerare lo spazio delle fasi {stile di visualizzazione (q^{in },p_{in })} di un particolare hamiltoniano {stile di visualizzazione H} come varietà {stile di visualizzazione (M,omega )} dotato di un simplettico 2-forma {stile di visualizzazione omega =dp_{in }cuneo dq^{in }.} La forma volumetrica della nostra varietà è la massima potenza esterna della forma 2 simplettica, ed è solo un'altra rappresentazione della misura sullo spazio delle fasi sopra descritto.

Sulla nostra varietà simplettica nello spazio delle fasi possiamo definire un campo vettoriale hamiltoniano generato da una funzione {stile di visualizzazione f(q,p)} come {stile di visualizzazione X_{f}={frac {parziale f}{p_ parziale{in }}}{frac {parziale }{parziale q^{in }}}-{frac {parziale f}{parziale q^{in }}}{frac {parziale }{p_ parziale{in }}}.} In particolare, quando la funzione generatrice è l'Hamiltoniana stessa, {stile di visualizzazione f(q,p)= H} , noi abbiamo {stile di visualizzazione X_{H}={frac {parziale h}{p_ parziale{in }}}{frac {parziale }{parziale q^{in }}}-{frac {parziale h}{parziale q^{in }}}{frac {parziale }{p_ parziale{in }}}={frac {dq^{in }}{dt}}{frac {parziale }{parziale q^{in }}}+{frac {dp^{in }}{dt}}{frac {parziale }{p_ parziale{in }}}={frac {d}{dt}}} dove abbiamo utilizzato le equazioni del moto di Hamilton e la definizione della regola della catena.[8] In questo formalismo, Il Teorema di Liouville afferma che la derivata di Lie della forma del volume è zero lungo il flusso generato da {stile di visualizzazione X_{H}} . Questo è, per {stile di visualizzazione (M,omega )} una varietà simplettica 2n-dimensionale, {stile di visualizzazione {matematico {l}}_{X_{H}}(omega ^{n})=0.} Infatti, la struttura simplettica {stile di visualizzazione omega } stesso è preservato, non solo il suo massimo potere esterno. Questo è, Anche il Teorema di Liouville dà [9] {stile di visualizzazione {matematico {l}}_{X_{H}}(omega )=0.} Equazione quantistica di Liouville L'analogo dell'equazione di Liouville nella meccanica quantistica descrive l'evoluzione nel tempo di uno stato misto. La quantizzazione canonica fornisce una versione quantomeccanica di questo teorema, l'equazione di Von Neumann. Questa procedura, spesso utilizzato per ideare analoghi quantistici dei sistemi classici, implica la descrizione di un sistema classico utilizzando la meccanica hamiltoniana. Le variabili classiche vengono quindi reinterpretate come operatori quantistici, mentre le parentesi di Poisson sono sostituite dai commutatori. In questo caso, l'equazione risultante è[10][11] {stile di visualizzazione {frac {rho parziale }{parziale t}}={frac {1}{avviso }}[H,rho ]} dove ρ è la matrice di densità.

Quando applicato al valore di aspettativa di un osservabile, l'equazione corrispondente è data dal teorema di Ehrenfest, e prende forma {stile di visualizzazione {frac {d}{dt}}lango Angolo =-{frac {1}{avviso }}angolo [H,UN]sonaglio } dove {stile di visualizzazione A} è un osservabile. Nota la differenza di segno, che segue dall'ipotesi che l'operatore sia stazionario e lo stato sia dipendente dal tempo.

Nella formulazione dello spazio delle fasi della meccanica quantistica, sostituendo le parentesi di Moyal con le parentesi di Poisson nell'analogo dello spazio delle fasi dell'equazione di von Neumann si ottiene la compressibilità del fluido di probabilità, e quindi violazioni dell'incomprimibilità del teorema di Liouville. Questo, poi, porta a difficoltà concomitanti nella definizione di traiettorie quantistiche significative.[citazione necessaria] Esempi SHO Spazio delle fasi Volume L'evoluzione temporale dello spazio delle fasi per l'oscillatore armonico semplice (SHO). Qui abbiamo preso {stile di visualizzazione m=omega =1} e stanno valutando la regione {stile di visualizzazione p,qin [-1,1]} .

Considera un {stile di visualizzazione N} sistema di particelle in tre dimensioni, e concentrarsi solo sull'evoluzione di {displaystyle matematica {d} {matematico {N}}} particelle. All'interno dello spazio delle fasi, queste {displaystyle matematica {d} {matematico {N}}} le particelle occupano un volume infinitesimale dato da {displaystyle matematica {d} Gamma =displaystyle prod _{io=1}^{N}d^{3}p_{io}d^{3}q_{io}.} Vogliamo {stile di visualizzazione {frac {matematica {d} {matematico {N}}}{matematica {d} Gamma }}} rimanere lo stesso nel tempo, affinché {stile di visualizzazione rho (Gamma ,t)} è costante lungo le traiettorie del sistema. Se permettiamo alle nostre particelle di evolversi di un passo temporale infinitesimale {stile di visualizzazione delta t} , vediamo che ogni posizione nello spazio delle fasi delle particelle cambia come {stile di visualizzazione {inizio{casi}q_{io}'=q_{io}+{punto {q_{io}}}deltatp_{io}'=p_{io}+{punto {p_{io}}}delta t,fine{casi}}} dove {stile di visualizzazione {punto {q_{io}}}} e {stile di visualizzazione {punto {p_{io}}}} denota {stile di visualizzazione {frac {dq_{io}}{dt}}} e {stile di visualizzazione {frac {dp_{io}}{dt}}} rispettivamente, e abbiamo mantenuto solo i termini lineari {stile di visualizzazione delta t} . Estendendo questo al nostro ipercubo infinitesimale {displaystyle matematica {d} Gamma } , le lunghezze laterali cambiano come {stile di visualizzazione {inizio{casi}dq_{io}'=dq_{io}+{frac {parziale {punto {q_{io}}}}{parziale q_{io}}}dq_{io}delta tdp_{io}'=dp_{io}+{frac {parziale {punto {p_{io}}}}{p_ parziale{io}}}dp_{io}delta t.end{casi}}} Trovare il nuovo volume infinitesimale dello spazio delle fasi {displaystyle matematica {d} Gamma'} , abbiamo bisogno del prodotto delle quantità di cui sopra. Al primo ordine {stile di visualizzazione delta t} , otteniamo quanto segue.

{stile di visualizzazione dq_{io}'dp_{io}'=dq_{io}dp_{io}sinistra[1+sinistra({frac {parziale {punto {q_{io}}}}{parziale q_{io}}}+{frac {parziale {punto {p_{io}}}}{p_ parziale{io}}}Giusto)delta destra]} Finora, non abbiamo ancora fatto alcuna specifica sul nostro sistema. Specializziamoci ora nel caso di {stile di visualizzazione N} {stile di visualizzazione 3} -oscillatori armonici isotropi dimensionali. Questo è, ogni particella nel nostro insieme può essere trattata come un semplice oscillatore armonico. L'Hamiltoniano per questo sistema è dato da {displaystyle H=displaystyle somma _{io=1}^{3N}sinistra({frac {1}{2m}}p_{io}^{2}+{frac {Moga^{2}}{2}}q_{io}^{2}Giusto)} Usando le equazioni di Hamilton con l'Hamiltoniana di cui sopra troviamo che il termine tra parentesi sopra è identicamente zero, cedendo così {stile di visualizzazione dq_{io}'dp_{io}'=dq_{io}dp_{io}.} Da questo possiamo trovare il volume infinitesimale dello spazio delle fasi.

{displaystyle matematica {d} Gamma '=displaystyle prod _{io=1}^{N}d^{3}q_{io}'d^{3}p_{io}'=prodotto_{io=1}^{N}d^{3}q_{io}d^{3}p_{io}= matematica {d} Gamma } Quindi alla fine abbiamo scoperto che il volume infinitesimale dello spazio delle fasi è invariato, cedevole {stile di visualizzazione rho (Gamma',t+delta t)={frac {matematica {d} {matematico {N}}}{matematica {d} Gamma'}}={frac {matematica {d} {matematico {N}}}{matematica {d} Gamma }}=ro (Gamma ,t),} dimostrando che il Teorema di Liouville vale per questo sistema.[12] Rimane la domanda su come il volume dello spazio delle fasi evolve effettivamente nel tempo. Sopra abbiamo dimostrato che il volume totale è conservato, ma non ha detto nulla su come appare. Per una singola particella possiamo vedere che la sua traiettoria nello spazio delle fasi è data dall'ellisse della costante {stile di visualizzazione H} . Esplicitamente, si possono risolvere le equazioni di Hamilton per il sistema e trovare {stile di visualizzazione {inizio{allineato}q_{io}(t)&=Q_{io}cos {omega t}+{frac {P_{io}}{momega }}peccato {omega t}\p_{io}(t)&=P_{io}cos {omega t}-momega Q_{io}peccato {omega t},fine{allineato}}} dove {stile di visualizzazione Q_{io}} e {stile di visualizzazione P_{io}} denotano la posizione iniziale e la quantità di moto di {stile di visualizzazione i^{matematica {th} }} particella. Per un sistema di più particelle, ognuno avrà una traiettoria nello spazio delle fasi che traccia un'ellisse corrispondente all'energia della particella. La frequenza con cui viene tracciata l'ellisse è data da {stile di visualizzazione omega } nell'Hamiltoniano, indipendente da eventuali differenze di energia. Di conseguenza una regione dello spazio delle fasi ruoterà semplicemente attorno al punto {stile di visualizzazione (mathbf {q} ,mathbf {p} )=(0,0)} con frequenza dipendente {stile di visualizzazione omega } .[13] Questo può essere visto nell'animazione sopra.

Oscillatore armonico smorzato L'evoluzione del volume dello spazio delle fasi per l'oscillatore armonico smorzato. Vengono utilizzati gli stessi valori dei parametri come nel caso SHO, insieme a {stile di visualizzazione gamma =0,5;(alfa = 0,25)} .

Uno degli assunti fondamentali del Teorema di Liouville è che il sistema obbedisce alla conservazione dell'energia. Nel contesto dello spazio delle fasi, questo per dire questo {stile di visualizzazione rho } è costante sulle superfici dello spazio delle fasi di energia costante {stile di visualizzazione E} . Se rompiamo questo requisito considerando un sistema in cui l'energia non è conservata, lo troviamo {stile di visualizzazione rho } inoltre non riesce ad essere costante.

Come esempio di questo, consideriamo nuovamente il sistema di {stile di visualizzazione N} particelle ciascuna in a {stile di visualizzazione 3} -potenziale armonico isotropo dimensionale, l'Hamiltoniano per il quale è dato nell'esempio precedente. Questa volta, aggiungiamo la condizione che ogni particella subisca una forza di attrito. Poiché questa è una forza non conservativa, dobbiamo estendere le equazioni di Hamilton come {stile di visualizzazione {inizio{allineato}{punto {q_{io}}}&={frac {parziale h}{p_ parziale{io}}}\{punto {p_{io}}}&=-{frac {parziale h}{parziale q_{io}}}-gamma p_{io},fine{allineato}}} dove {gamma di stili di visualizzazione } è una costante positiva che determina la quantità di attrito. Seguendo una procedura molto simile al caso dell'oscillatore armonico non smorzato, arriviamo di nuovo a {stile di visualizzazione dq_{io}'dp_{io}'=dq_{io}dp_{io}sinistra[1+sinistra({frac {parziale {punto {q_{io}}}}{parziale q_{io}}}+{frac {parziale {punto {p_{io}}}}{p_ parziale{io}}}Giusto)delta destra].} Inserendo le nostre equazioni di Hamilton modificate, noi troviamo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}dq_{io}'dp_{io}'&=dq_{io}dp_{io}sinistra[1+sinistra({frac {parziale ^{2}H}{parziale q_{io}p_ parziale{io}}}-{frac {parziale ^{2}H}{p_ parziale{io}parziale q_{io}}}-gamma a destra)delta destra]\&=dq_{io}dp_{io}sinistra[1-gamma delta destra].fine{allineato}}} Calcolo del nostro nuovo volume infinitesimale dello spazio delle fasi, e mantenendo solo il primo ordine {stile di visualizzazione delta t} troviamo il seguente risultato.

{displaystyle matematica {d} Gamma '=displaystyle prod _{io=1}^{N}d^{3}q_{io}'d^{3}p_{io}'=sinistra[1-gamma delta destra]^{3N}pungolo _{io=1}^{N}d^{3}q_{io}d^{3}p_{io}= matematica {d} Gamma a sinistra[1-3Per delta destra]} Abbiamo scoperto che il volume infinitesimale dello spazio delle fasi non è più costante, e quindi la densità dello spazio delle fasi non è conservata. Come si può vedere dall'equazione all'aumentare del tempo, ci aspettiamo che il volume del nostro spazio delle fasi diminuisca fino a zero poiché l'attrito influisce sul sistema.

Per quanto riguarda l'evoluzione del volume dello spazio delle fasi nel tempo, avremo ancora la rotazione costante come nel caso non smorzato. Tuttavia, lo smorzamento introdurrà una costante diminuzione dei raggi di ciascuna ellisse. Ancora una volta possiamo risolvere le traiettorie usando esplicitamente le equazioni di Hamilton, avendo cura di utilizzare quelli modificati sopra. Affittare {displaystyle alfa equiv {frac {gamma }{2}}} per comodità, noi troviamo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}q_{io}(t)&=e^{-alfa t}sinistra[Q_{io}cos {omega _{1}t}+B_{io}peccato {omega _{1}t}Giusto]&&omega _{1}equivalente {mq {omega ^{2}-alfa ^{2}}}\p_{io}(t)&=e^{-alfa t}sinistra[P_{io}cos {omega _{1}t}-m(omega _{1}Q_{io}+2alfa B_{io})peccato {omega _{1}t}Giusto]&&B_{io}equivalente {frac {1}{omega _{1}}}sinistra({frac {P_{io}}{m}}+2alfa Q_{io}Giusto),fine{allineato}}} dove i valori {stile di visualizzazione Q_{io}} e {stile di visualizzazione P_{io}} denotano la posizione iniziale e la quantità di moto di {stile di visualizzazione i^{matematica {th} }} particella. Man mano che il sistema evolve, il volume totale dello spazio delle fasi salirà a spirale verso l'origine. Questo può essere visto nella figura sopra.

Osservazioni L'equazione di Liouville è valida sia per i sistemi in equilibrio che per quelli in non equilibrio. È un'equazione fondamentale della meccanica statistica di non equilibrio. L'equazione di Liouville è parte integrante della dimostrazione del teorema di fluttuazione da cui si può derivare la seconda legge della termodinamica. È anche il componente chiave della derivazione delle relazioni Green-Kubo per coefficienti di trasporto lineare come la viscosità di taglio, conducibilità termica o conducibilità elettrica. Praticamente qualsiasi libro di testo sulla meccanica hamiltoniana, meccanica statistica avanzata, o la geometria simplettica deriverà il teorema di Liouville.[9][14][15][16][17] Vedi anche Equazione di trasporto di Boltzmann Algoritmo di propagazione del sistema di riferimento reversibile (r-RESPA) Riferimenti ^ Harald J. w. Müller-Kirsten, Fondamenti di fisica statistica, 2nd ed., Scientifico mondiale (Singapore, 2013) ^ Kubo, Ryōgo (1963-02-01). "Equazioni stocastiche di Liouville". Giornale di fisica matematica. 4 (2): 174–183. Bibcode:1963JMP.....4..174K. doi:10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488. ^ J. w. Gibbs, "Sulla formula fondamentale della meccanica statistica, con applicazioni all'astronomia e alla termodinamica." Atti dell'Associazione americana per l'avanzamento della scienza, 33, 57–58 (1884). Riprodotto in The Scientific Papers di J. Willard Gibbs, Vol II (1906), p. 16. ^ Gibbs, Giosia Willard (1902). Principi elementari di meccanica statistica. New York: Figli di Charles Scribner. ^ Liouville, Joseph. "Sulla teoria della variazione delle costanti arbitrarie" (PDF). Giornale di matematica pura e applicata. 3: 342–349. ^ Ehrendorfer, Martino. "L'equazione di Liouville: Sfondo - Sfondo storico". L'equazione di Liouville nella prevedibilità atmosferica (PDF). pp. 48–49. ^ Harald JW. Müller-Kirsten, Introduzione alla meccanica quantistica: Equazione di Schrödinger e integrale di cammino, 2nd ed., Scientifico mondiale (Singapore, 2012). ^ Nakara, Mikio (2003). Geometria, Topologia, e Fisica (2 ed.). Taylor & Francis Group. pp. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5. ^ Salta su: a b Nash, Oliver (8 Gennaio 2015). "Teorema di Liouville per i pedanti" (PDF). Dimostra il teorema di Liouville usando il linguaggio della moderna geometria differenziale. ^ La teoria dei sistemi quantistici aperti, di Breuer e Petruccione, p 110. ^ Meccanica statistica, di Schwabl, p 16. ^ Datore di lavoro, Mehran (2007). Fisica statistica delle particelle. Università di Cambridge Press. pp. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0. ^ Eastmann, Peter (2014–2015). "Evoluzione delle probabilità dello spazio delle fasi". ^ Per una derivazione particolarmente chiara vedi Tolman, R. C. (1979). I principi della meccanica statistica. Dover. pp. 48–51. ISBN 9780486638966. ^ "Spazio delle fasi e teorema di Liouville". Recuperato gennaio 6, 2014. Quasi identico alla prova in questo articolo di Wikipedia. Assume (senza prove) l'equazione di continuità n-dimensionale. ^ "Conservazione del volume dello spazio delle fasi e teorema di Liouville". Recuperato gennaio 6, 2014. Una dimostrazione rigorosa basata su come l'elemento di volume Jacobiano si trasforma sotto la meccanica hamiltoniana. ^ "Fisica 127a: Appunti della lezione" (PDF). Recuperato gennaio 6, 2014. Utilizza il teorema della divergenza n-dimensionale (senza prove). Ulteriori letture Murugesan, R. Fisica moderna. S. Chand. Avaro; Spina; Wheeler (1973). "Teoria cinetica nello spaziotempo curvo". Gravitazione. Libero. pp. 583–590. ISBN 9781400889099. link esterno "Funzioni di distribuzione nello spazio delle fasi e teorema di Liouville". Categorie: Meccanica hamiltonianaTeoremi nei sistemi dinamiciTeoremi di meccanica statistica