Théorème de Liouville (Hamiltonien)

Théorème de Liouville (Hamiltonien) Cet article porte sur le théorème de Liouville en mécanique hamiltonienne. Pour d'autres usages, voir le théorème de Liouville. Partie d'une série sur la mécanique classique {style d'affichage {textbf {F}}={frac {ré}{dt}}(m{textbf {v}})} Deuxième loi du mouvement HistoireChronologieManuels montrer Branches montrer Fondamentaux cacher Formulations Lois du mouvement de Newton Mécanique analytique Mécanique lagrangienne Mécanique hamiltonienne Mécanique routhienne Équation de Hamilton-Jacobi Équation du mouvement d'Appel Mécanique de Koopman-von Neumann montrer Thèmes principaux montrer Rotation montrer Scientifiques Portail de physique Catégorie vte En physique, Théorème de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est un théorème clé de la mécanique statistique et hamiltonienne classique. Il affirme que la fonction de distribution de l'espace des phases est constante le long des trajectoires du système, c'est-à-dire que la densité des points du système au voisinage d'un point du système donné voyageant dans l'espace des phases est constante avec le temps.. Cette densité indépendante du temps est connue en mécanique statistique sous le nom de probabilité a priori classique.[1] Il existe des résultats mathématiques connexes en topologie symplectique et en théorie ergodique; les systèmes obéissant au théorème de Liouville sont des exemples de systèmes dynamiques incompressibles.

Il existe des extensions du théorème de Liouville aux systèmes stochastiques.[2] Contenu 1 Équations de Liouville 2 Autres formulations 2.1 Crochet de Poisson 2.2 Théorie ergodique 2.3 Géométrie symplectique 2.4 Équation quantique de Liouville 3 Exemples 3.1 Volume d'espace de phase SHO 3.2 Oscillateur harmonique amorti 4 Remarques 5 Voir également 6 Références 7 Lectures complémentaires 8 Liens externes Équations de Liouville Évolution d'un ensemble de systèmes classiques dans l'espace des phases (Haut). Chaque système consiste en une particule massive dans un puits de potentiel unidimensionnel (courbe rouge, chiffre inférieur). Alors que le mouvement d'un membre individuel de l'ensemble est donné par les équations de Hamilton, Les équations de Liouville décrivent le flux de toute la distribution. Le mouvement est analogue à un colorant dans un fluide incompressible.

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la fonction de distribution dans l'espace des phases. Bien que l'équation soit généralement appelée la "Équation de Liouville", Josiah Willard Gibbs a été le premier à reconnaître l'importance de cette équation en tant qu'équation fondamentale de la mécanique statistique.[3][4] On l'appelle l'équation de Liouville parce que sa dérivation pour les systèmes non canoniques utilise une identité dérivée pour la première fois par Liouville dans 1838.[5][6] Considérons un système dynamique hamiltonien avec des coordonnées canoniques {style d'affichage q_{je}} et moments conjugués {style d'affichage p_{je}} , où {style d'affichage i=1,points ,n} . Alors la distribution dans l'espace des phases {style d'affichage rho (p,q)} détermine la probabilité {style d'affichage rho (p,q);mathrm {ré} ^{n}q,mathrm {ré} ^{n}p} que le système se trouvera dans le volume infinitésimal de l'espace des phases {style d'affichage mathrm {ré} ^{n}q,mathrm {ré} ^{n}p} . L'équation de Liouville régit l'évolution de {style d'affichage rho (p,q;t)} à l'heure {style d'affichage t} : {style d'affichage {frac {sec }{dt}}={frac {rhô partiel }{t partiel}}+somme _{je=1}^{n}la gauche({frac {rhô partiel }{q_ partiel{je}}}{point {q}}_{je}+{frac {rhô partiel }{p_ partiel{je}}}{point {p}}_{je}droit)=0.} Les dérivées temporelles sont indiquées par des points, et sont évalués selon les équations de Hamilton pour le système. Cette équation démontre la conservation de la densité dans l'espace des phases (qui était le nom de Gibbs pour le théorème). Le théorème de Liouville stipule que la fonction de distribution est constante le long de toute trajectoire dans l'espace des phases.

Une preuve du théorème de Liouville utilise le théorème de divergence à n dimensions. Cette preuve est basée sur le fait que l'évolution de {style d'affichage rho } obéit à une version à 2n dimensions de l'équation de continuité: {style d'affichage {frac {rhô partiel }{t partiel}}+somme _{je=1}^{n}la gauche({frac {partiel (Rho {point {q}}_{je})}{q_ partiel{je}}}+{frac {partiel (Rho {point {p}}_{je})}{p_ partiel{je}}}droit)=0.} C'est-à-dire, le triplet {style d'affichage (Rho ,Rho {point {q}}_{je},Rho {point {p}}_{je})} est un courant conservé. Notez que la différence entre cette équation et celle de Liouville sont les termes {style d'affichage rho somme _{je=1}^{n}la gauche({frac {partiel {point {q}}_{je}}{q_ partiel{je}}}+{frac {partiel {point {p}}_{je}}{p_ partiel{je}}}droit)= somme rho _{je=1}^{n}la gauche({frac {partiel ^{2}H}{q_ partiel{je},p_ partiel{je}}}-{frac {partiel ^{2}H}{p_ partiel{je}q_ partiel{je}}}droit)=0,} où {style d'affichage H} est l'hamiltonien, et les équations de Hamilton ainsi que la conservation de l'hamiltonien le long de l'écoulement ont été utilisées. C'est-à-dire, visualiser le mouvement à travers l'espace des phases comme un «écoulement de fluide» de points du système, le théorème que la dérivée convective de la densité, {style d'affichage drho /dt} , est zéro découle de l'équation de continuité en notant que le 'champ de vitesse' {style d'affichage ({point {p}},{point {q}})} dans l'espace des phases a une divergence nulle (qui découle des relations de Hamilton).[7] Une autre illustration est de considérer la trajectoire d'un nuage de points à travers l'espace des phases. Il est simple de montrer que lorsque le nuage s'étend dans une coordonnée - {style d'affichage p_{je}} dire - il se rétrécit dans le correspondant {style d'affichage q^{je}} direction pour que le produit {style d'affichage Delta p_{je},Delta q^{je}} reste constant.

Autres formulations Crochet de Poisson Le théorème ci-dessus est souvent reformulé en termes de crochet de Poisson comme {style d'affichage {frac {rhô partiel }{t partiel}}=-{,Rho ,H,}} ou, en termes d'opérateur linéaire de Liouville ou Liouvillien, {style d'affichage mathrm {je} {chapeau large {mathbf {L} }}=somme _{je=1}^{n}la gauche[{frac {H partiel}{p_ partiel{je}}}{frac {partiel }{q partiel ^{je}}}-{frac {H partiel}{q partiel ^{je}}}{frac {partiel }{p_ partiel{je}}}droit]={balle ,H}} comme {style d'affichage {frac {rhô partiel }{t partiel}}+{mathrm {je} {chapeau large {mathbf {L} }}}rhô =0.} Théorie ergodique En théorie ergodique et systèmes dynamiques, motivé par les considérations physiques données jusqu'à présent, il existe un résultat correspondant également appelé théorème de Liouville. En mécanique hamiltonienne, l'espace des phases est une variété lisse qui est naturellement équipée d'une mesure lisse (localement, cette mesure est la mesure de Lebesgue à 6n dimensions). Le théorème dit que cette mesure lisse est invariante sous le flux hamiltonien. Plus généralement, on peut décrire la condition nécessaire et suffisante sous laquelle une mesure lisse est invariante sous un flux[citation requise]. Le cas hamiltonien devient alors un corollaire.

Géométrie symplectique On peut aussi formuler le théorème de Liouville en termes de géométrie symplectique. Pour un système donné, on peut considérer l'espace des phases {style d'affichage (q ^{dans },p_{dans })} d'un hamiltonien particulier {style d'affichage H} en tant que collecteur {style d'affichage (M,oméga )} doté d'une 2-forme symplectique {style d'affichage oméga =dp_{dans }coin dq ^{dans }.} La forme volumique de notre variété est la puissance extérieure supérieure de la 2-forme symplectique, et est juste une autre représentation de la mesure sur l'espace des phases décrit ci-dessus.

Sur notre variété symplectique dans l'espace des phases, nous pouvons définir un champ vectoriel hamiltonien généré par une fonction {style d'affichage f(q,p)} comme {style d'affichage X_{F}={frac {f partiel}{p_ partiel{dans }}}{frac {partiel }{q partiel ^{dans }}}-{frac {f partiel}{q partiel ^{dans }}}{frac {partiel }{p_ partiel{dans }}}.} Spécifiquement, lorsque la fonction génératrice est l'hamiltonien lui-même, {style d'affichage f(q,p)=H} , on a {style d'affichage X_{H}={frac {H partiel}{p_ partiel{dans }}}{frac {partiel }{q partiel ^{dans }}}-{frac {H partiel}{q partiel ^{dans }}}{frac {partiel }{p_ partiel{dans }}}={frac {dq ^{dans }}{dt}}{frac {partiel }{q partiel ^{dans }}}+{frac {dp ^{dans }}{dt}}{frac {partiel }{p_ partiel{dans }}}={frac {ré}{dt}}} où nous avons utilisé les équations de mouvement de Hamilton et la définition de la règle de la chaîne.[8] Dans ce formalisme, Le théorème de Liouville stipule que la dérivée de Lie de la forme volumique est nulle le long du flux généré par {style d'affichage X_{H}} . C'est-à-dire, pour {style d'affichage (M,oméga )} une variété symplectique à 2n dimensions, {style d'affichage {mathématique {L}}_{X_{H}}(oméga ^{n})=0.} En réalité, la structure symplectique {style d'affichage oméga } elle-même est préservée, non seulement sa puissance extérieure maximale. C'est-à-dire, Le théorème de Liouville donne aussi [9] {style d'affichage {mathématique {L}}_{X_{H}}(oméga )=0.} Équation quantique de Liouville L'analogue de l'équation de Liouville en mécanique quantique décrit l'évolution temporelle d'un état mixte. La quantification canonique donne une version mécanique quantique de ce théorème, l'équation de Von Neumann. Cette procédure, souvent utilisé pour concevoir des analogues quantiques des systèmes classiques, consiste à décrire un système classique en utilisant la mécanique hamiltonienne. Les variables classiques sont alors réinterprétées comme des opérateurs quantiques, tandis que les crochets de Poisson sont remplacés par des commutateurs. Dans ce cas, l'équation résultante est[10][11] {style d'affichage {frac {rhô partiel }{t partiel}}={frac {1}{remarquer }}[H,Rho ]} où ρ est la matrice de densité.

Lorsqu'il est appliqué à la valeur d'espérance d'un observable, l'équation correspondante est donnée par le théorème d'Ehrenfest, et prend la forme {style d'affichage {frac {ré}{dt}}langle Arangle =-{frac {1}{remarquer }}langle [H,UN]hochet } où {style d'affichage A} est un observable. Notez la différence de signe, qui découle de l'hypothèse que l'opérateur est stationnaire et que l'état dépend du temps.

Dans la formulation de l'espace des phases de la mécanique quantique, le remplacement des crochets de Moyal par des crochets de Poisson dans l'analogue de l'espace des phases de l'équation de von Neumann entraîne la compressibilité du fluide de probabilité, et donc des violations de l'incompressibilité du théorème de Liouville. Cette, alors, conduit à des difficultés concomitantes pour définir des trajectoires quantiques significatives.[citation requise] Exemples Volume d'espace de phase SHO L'évolution temporelle de l'espace de phase pour l'oscillateur harmonique simple (SHO). Ici nous avons pris {style d'affichage m=oméga =1} et envisagent la région {style d'affichage p,qin [-1,1]} .

Envisagez un {displaystyle N} système de particules en trois dimensions, et se concentrer uniquement sur l'évolution de {style d'affichage mathrm {ré} {mathématique {N}}} particules. Dans l'espace des phases, ces {style d'affichage mathrm {ré} {mathématique {N}}} les particules occupent un volume infinitésimal donné par {style d'affichage mathrm {ré} Gamma = style d'affichage prod _{je=1}^{N}d^{3}p_{je}d^{3}q_{je}.} Nous voulons {style d'affichage {frac {mathrm {ré} {mathématique {N}}}{mathrm {ré} Gamma }}} rester le même dans le temps, pour que {style d'affichage rho (Gamma ,t)} est constante le long des trajectoires du système. Si nous laissons nos particules évoluer par un pas de temps infinitésimal {style d'affichage delta t} , nous voyons que chaque emplacement de l'espace de phase des particules change comme {style d'affichage {commencer{cas}q_{je}'=q_{je}+{point {q_{je}}}delta t\p_{je}'=p_{je}+{point {p_{je}}}delta-t,fin{cas}}} où {style d'affichage {point {q_{je}}}} et {style d'affichage {point {p_{je}}}} dénoter {style d'affichage {frac {dq_{je}}{dt}}} et {style d'affichage {frac {dp_{je}}{dt}}} respectivement, et nous avons seulement gardé les termes linéaires dans {style d'affichage delta t} . Étendre cela à notre hypercube infinitésimal {style d'affichage mathrm {ré} Gamma } , les longueurs des côtés changent comme {style d'affichage {commencer{cas}dq_{je}'=dq_{je}+{frac {partiel {point {q_{je}}}}{q_ partiel{je}}}dq_{je}delta t\dp_{je}'=dp_{je}+{frac {partiel {point {p_{je}}}}{p_ partiel{je}}}dp_{je}delta t.fin{cas}}} Pour trouver le nouveau volume d'espace de phase infinitésimal {style d'affichage mathrm {ré} Gamma '} , nous avons besoin du produit des quantités ci-dessus. Pour la première commande en {style d'affichage delta t} , on obtient ce qui suit.

{style d'affichage dq_{je}'dp_{je}'=dq_{je}dp_{je}la gauche[1+la gauche({frac {partiel {point {q_{je}}}}{q_ partiel{je}}}+{frac {partiel {point {p_{je}}}}{p_ partiel{je}}}droit)delta droit]} Jusqu'à présent, nous n'avons pas encore fait de spécifications sur notre système. Spécialisons maintenant le cas de {displaystyle N} {style d'affichage 3} -oscillateurs harmoniques isotropes dimensionnels. C'est-à-dire, chaque particule de notre ensemble peut être traitée comme un simple oscillateur harmonique. L'hamiltonien de ce système est donné par {style d'affichage H=somme du style d'affichage _{je=1}^{3N}la gauche({frac {1}{2m}}p_{je}^{2}+{frac {Momega ^{2}}{2}}q_{je}^{2}droit)} En utilisant les équations de Hamilton avec l'hamiltonien ci-dessus, nous constatons que le terme entre parenthèses ci-dessus est égal à zéro, donnant ainsi {style d'affichage dq_{je}'dp_{je}'=dq_{je}dp_{je}.} De cela, nous pouvons trouver le volume infinitésimal de l'espace des phases.

{style d'affichage mathrm {ré} Gamma '=prod de style d'affichage _{je=1}^{N}d^{3}q_{je}'d ^{3}p_{je}'=produit _{je=1}^{N}d^{3}q_{je}d^{3}p_{je}= mathrm {ré} Gamma } Ainsi, nous avons finalement trouvé que le volume infinitésimal de l'espace des phases est inchangé, cédant {style d'affichage rho (Gamma ',t+delta t)={frac {mathrm {ré} {mathématique {N}}}{mathrm {ré} Gamma '}}={frac {mathrm {ré} {mathématique {N}}}{mathrm {ré} Gamma }}=rhô (Gamma ,t),} démontrant que le théorème de Liouville est valable pour ce système.[12] La question demeure de savoir comment le volume de l'espace des phases évolue réellement dans le temps. Ci-dessus, nous avons montré que le volume total est conservé, mais n'a rien dit sur ce à quoi ça ressemble. Pour une seule particule, nous pouvons voir que sa trajectoire dans l'espace des phases est donnée par l'ellipse de constante {style d'affichage H} . Explicitement, on peut résoudre les équations de Hamilton pour le système et trouver {style d'affichage {commencer{aligné}q_{je}(t)&=Q_{je}parce que {oméga t}+{frac {P_{je}}{moméga }}péché {oméga t}\p_{je}(t)&=P_{je}parce que {oméga t}-moméga Q_{je}péché {oméga t},fin{aligné}}} où {style d'affichage Q_{je}} et {style d'affichage P_{je}} dénotent la position et la quantité de mouvement initiales de la {style d'affichage i^{mathrm {e} }} particule. Pour un système de particules multiples, chacun aura une trajectoire dans l'espace des phases qui trace une ellipse correspondant à l'énergie de la particule. La fréquence à laquelle l'ellipse est tracée est donnée par la {style d'affichage oméga } dans l'Hamiltonien, indépendamment de toute différence d'énergie. En conséquence, une région de l'espace des phases tournera simplement autour du point {style d'affichage (mathbf {q} ,mathbf {p} )=(0,0)} avec une fréquence dépendant de {style d'affichage oméga } .[13] Cela peut être vu dans l'animation ci-dessus.

Oscillateur harmonique amorti L'évolution du volume de l'espace de phase pour l'oscillateur harmonique amorti. Les mêmes valeurs de paramètres sont utilisées que dans le cas SHO, avec {gamma de style d'affichage = 0,5;(alfa =0,25)} .

L'une des hypothèses fondamentales du théorème de Liouville est que le système obéit à la conservation de l'énergie. Dans le contexte de l'espace des phases, c'est pour dire que {style d'affichage rho } est constant sur les surfaces de l'espace des phases d'énergie constante {style d'affichage E} . Si nous brisons cette exigence en considérant un système dans lequel l'énergie n'est pas conservée, nous trouvons que {style d'affichage rho } n'est pas non plus constant.

A titre d'exemple de ce, reprenons le système de {displaystyle N} particules chacune dans un {style d'affichage 3} -potentiel harmonique isotrope dimensionnel, l'hamiltonien pour lequel est donné dans l'exemple précédent. Ce temps, on ajoute la condition que chaque particule subit une force de frottement. Comme il s'agit d'une force non conservatrice, nous devons étendre les équations de Hamilton comme {style d'affichage {commencer{aligné}{point {q_{je}}}&={frac {H partiel}{p_ partiel{je}}}\{point {p_{je}}}&=-{frac {H partiel}{q_ partiel{je}}}-gamma p_{je},fin{aligné}}} où {gamma de style d'affichage } est une constante positive dictant la quantité de frottement. En suivant une procédure très similaire au cas de l'oscillateur harmonique non amorti, nous arrivons à nouveau à {style d'affichage dq_{je}'dp_{je}'=dq_{je}dp_{je}la gauche[1+la gauche({frac {partiel {point {q_{je}}}}{q_ partiel{je}}}+{frac {partiel {point {p_{je}}}}{p_ partiel{je}}}droit)delta droit].} Brancher nos équations de Hamilton modifiées, nous trouvons {style d'affichage {commencer{aligné}dq_{je}'dp_{je}'&=dq_{je}dp_{je}la gauche[1+la gauche({frac {partiel ^{2}H}{q_ partiel{je}p_ partiel{je}}}-{frac {partiel ^{2}H}{p_ partiel{je}q_ partiel{je}}}-gamma droite)delta droit]\&=dq_{je}dp_{je}la gauche[1-gamma delta clair].fin{aligné}}} Calcul de notre nouveau volume d'espace de phase infinitésimal, et en ne gardant que le premier ordre dans {style d'affichage delta t} on trouve le résultat suivant.

{style d'affichage mathrm {ré} Gamma '=prod de style d'affichage _{je=1}^{N}d^{3}q_{je}'d ^{3}p_{je}'=gauche[1-gamma delta clair]^{3N}produit _{je=1}^{N}d^{3}q_{je}d^{3}p_{je}= mathrm {ré} Gamma à gauche[1-3Pour delta droit]} Nous avons constaté que le volume infinitésimal de l'espace des phases n'est plus constant, et donc la densité de l'espace de phase n'est pas conservée. Comme on peut le voir à partir de l'équation à mesure que le temps augmente, nous nous attendons à ce que notre volume d'espace de phase diminue à zéro lorsque le frottement affecte le système.

Quant à la façon dont le volume de l'espace des phases évolue dans le temps, on aura toujours la rotation constante comme dans le cas non amorti. Cependant, l'amortissement introduira une diminution régulière des rayons de chaque ellipse. Encore une fois, nous pouvons résoudre les trajectoires explicitement en utilisant les équations de Hamilton, en prenant soin d'utiliser les modifications ci-dessus. Location {style d'affichage équivalent alpha {frac {gamma }{2}}} pour plus de commodité, nous trouvons {style d'affichage {commencer{aligné}q_{je}(t)&=e^{-alpha-t}la gauche[Q_{je}parce que {oméga _{1}t}+B_{je}péché {oméga _{1}t}droit]&&omega _{1}équiv {sqrt {oméga ^{2}-Alpha ^{2}}}\p_{je}(t)&=e^{-alpha-t}la gauche[P_{je}parce que {oméga _{1}t}-m(oméga _{1}Q_{je}+2Alpha B_{je})péché {oméga _{1}t}droit]&&B_{je}équiv {frac {1}{oméga _{1}}}la gauche({frac {P_{je}}{m}}+2alpha Q_{je}droit),fin{aligné}}} où les valeurs {style d'affichage Q_{je}} et {style d'affichage P_{je}} dénotent la position et la quantité de mouvement initiales de la {style d'affichage i^{mathrm {e} }} particule. Au fur et à mesure que le système évolue, le volume total de l'espace de phase s'enroulera vers l'origine. Cela peut être vu dans la figure ci-dessus.

Remarques L'équation de Liouville est valable pour les systèmes à l'équilibre et hors d'équilibre. C'est une équation fondamentale de la mécanique statistique hors d'équilibre. L'équation de Liouville fait partie intégrante de la preuve du théorème de fluctuation à partir de laquelle la deuxième loi de la thermodynamique peut être dérivée. C'est également l'élément clé de la dérivation des relations Green – Kubo pour les coefficients de transport linéaire tels que la viscosité de cisaillement, conductivité thermique ou conductivité électrique. Pratiquement tous les manuels sur la mécanique hamiltonienne, mécanique statistique avancée, ou la géométrie symplectique dérivera le théorème de Liouville.[9][14][15][16][17] Voir aussi Équation de transport de Boltzmann Algorithme de propagation du système de référence réversible (r-RESPA) Références ^ Harald J.. O. Müller-Kirsten, Bases de la physique statistique, 2sd éd., Scientifique mondial (Singapour, 2013) ^ Kubo, Ryogo (1963-02-01). "Équations stochastiques de Liouville". Journal de physique mathématique. 4 (2): 174–183. Code bib:1963JMP.....4..174K. est ce que je:10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488. ^J. O. Gibbs, "Sur la formule fondamentale de la mécanique statistique, avec des applications à l'astronomie et à la thermodynamique." Actes de l'Association américaine pour l'avancement des sciences, 33, 57–58 (1884). Reproduit dans les articles scientifiques de J. Willard Gibbs, Tome II (1906), p. 16. ^ Gibb, Josiah Willard (1902). Principes élémentaires en mécanique statistique. New York: Fils de Charles Scribner. ↑ Liouville, Joseph. "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. 3: 342–349. ^ Ehrendorfer, Martin. "L'équation de Liouville: Arrière plan - Contexte historique". L'équation de Liouville dans la prévisibilité atmosphérique (PDF). pp. 48–49. ^ Harald JW. Müller-Kirsten, Introduction à la mécanique quantique: Équation de Schrödinger et intégrale de chemin, 2sd éd., Scientifique mondial (Singapour, 2012). ^ Nakahara, Mikio (2003). Géométrie, Topologie, et Physique (2 éd.). Taylor & Francis Group. pp. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5. ^ Sauter à: a b Nash, Olivier (8 Janvier 2015). "Théorème de Liouville pour les pédants" (PDF). Démontre le théorème de Liouville en utilisant le langage de la géométrie différentielle moderne. ^ La théorie des systèmes quantiques ouverts, de Breuer et Petruccione, p 110. ^ Mécanique statistique, par Schwabl, p 16. ^ Employeur, Mehran (2007). Physique statistique des particules. Presse de l'Université de Cambridge. pp. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0. ^ Eastmann, Pierre (2014–2015). "Évolution des probabilités d'espace de phase". ^ Pour une dérivation particulièrement claire, voir Tolman, R. C. (1979). Les principes de la mécanique statistique. Douvres. pp. 48–51. ISBN 9780486638966. ^ "Espace des phases et théorème de Liouville". Récupéré en janvier 6, 2014. Presque identique à la preuve dans cet article de Wikipedia. Suppose (sans preuve) l'équation de continuité à n dimensions. ^ "Préservation du volume de l'espace des phases et théorème de Liouville". Récupéré en janvier 6, 2014. Une preuve rigoureuse basée sur la transformation de l'élément de volume jacobien sous la mécanique hamiltonienne. ^ "Physique 127a: Notes de cours" (PDF). Récupéré en janvier 6, 2014. Utilise le théorème de divergence à n dimensions (sans preuve). Lectures complémentaires Murugesan, R. Physique moderne. S. Chand. Avare; Thorne; Rouleur (1973). "Théorie cinétique dans l'espace-temps courbe". Gravitation. Homme libre. pp. 583–590. ISBN 9781400889099. Liens externes "Fonctions de distribution dans l'espace des phases et théorème de Liouville". Catégories: Mécanique hamiltonienneThéorèmes dans les systèmes dynamiquesThéorèmes de mécanique statistique