# Teorema del punto fisso di Lefschetz

The counting is subject to an imputed multiplicity at a fixed point called the fixed-point index. A weak version of the theorem is enough to show that a mapping without any fixed point must have rather special topological properties (like a rotation of a circle).

Contenuti 1 Dichiarazione formale 2 Schizzo di una dimostrazione 3 Lefschetz–Hopf theorem 4 Relation to the Euler characteristic 5 Relation to the Brouwer fixed-point theorem 6 Historical context 7 Frobenius 8 Guarda anche 9 Appunti 10 Riferimenti 11 External links Formal statement For a formal statement of the theorem, permettere {displaystyle fcolon Xrightarrow X,} be a continuous map from a compact triangulable space {stile di visualizzazione X} to itself. Define the Lefschetz number {displaystyle Lambda _{f}} di {stile di visualizzazione f} di {displaystyle Lambda _{f}:=somma _{kgq 0}(-1)^{K}matematica {tr} (f_{*}|H_{K}(X,mathbb {Q} )),} the alternating (finito) sum of the matrix traces of the linear maps induced by {stile di visualizzazione f} Su {stile di visualizzazione H_{K}(X,mathbb {Q} )} , the singular homology groups of {stile di visualizzazione X} with rational coefficients.

A simple version of the Lefschetz fixed-point theorem states: Se {displaystyle Lambda _{f}neq 0,} poi {stile di visualizzazione f} has at least one fixed point, cioè., there exists at least one {stile di visualizzazione x} in {stile di visualizzazione X} tale che {stile di visualizzazione f(X)=x} . Infatti, since the Lefschetz number has been defined at the homology level, the conclusion can be extended to say that any map homotopic to {stile di visualizzazione f} has a fixed point as well.

Note however that the converse is not true in general: {displaystyle Lambda _{f}} may be zero even if {stile di visualizzazione f} has fixed points.

Sketch of a proof First, by applying the simplicial approximation theorem, one shows that if {stile di visualizzazione f} has no fixed points, poi (possibly after subdividing {stile di visualizzazione X} ) {stile di visualizzazione f} is homotopic to a fixed-point-free simplicial map (cioè., it sends each simplex to a different simplex). This means that the diagonal values of the matrices of the linear maps induced on the simplicial chain complex of {stile di visualizzazione X} must be all be zero. Then one notes that, in generale, the Lefschetz number can also be computed using the alternating sum of the matrix traces of the aforementioned linear maps (this is true for almost exactly the same reason that the Euler characteristic has a definition in terms of homology groups; see below for the relation to the Euler characteristic). In the particular case of a fixed-point-free simplicial map, all of the diagonal values are zero, and thus the traces are all zero.

Lefschetz–Hopf theorem A stronger form of the theorem, also known as the Lefschetz–Hopf theorem, afferma che, Se {stile di visualizzazione f} has only finitely many fixed points, poi {somma dello stile di visualizzazione _{xin mathrm {Fix} (f)}io(f,X)=Lambda _{f},} dove {displaystyle matematica {Fix} (f)} is the set of fixed points of {stile di visualizzazione f} , e {stile di visualizzazione i(f,X)} denotes the index of the fixed point {stile di visualizzazione x} .[1] From this theorem one deduces the Poincaré–Hopf theorem for vector fields.

Relation to the Euler characteristic The Lefschetz number of the identity map on a finite CW complex can be easily computed by realizing that each {stile di visualizzazione f_{ast }} can be thought of as an identity matrix, and so each trace term is simply the dimension of the appropriate homology group. Thus the Lefschetz number of the identity map is equal to the alternating sum of the Betti numbers of the space, which in turn is equal to the Euler characteristic {stile di visualizzazione chi (X)} . Così abbiamo {displaystyle Lambda _{matematica {id} }=chi (X). } Relation to the Brouwer fixed-point theorem The Lefschetz fixed-point theorem generalizes the Brouwer fixed-point theorem, which states that every continuous map from the {stile di visualizzazione n} -dimensional closed unit disk {stile di visualizzazione D^{n}} a {stile di visualizzazione D^{n}} must have at least one fixed point.

questo può essere visto come segue: {stile di visualizzazione D^{n}} is compact and triangulable, all its homology groups except {stile di visualizzazione H_{0}} are zero, and every continuous map {displaystyle fcolon D^{n}to D^{n}} induces the identity map {stile di visualizzazione f_{*}colon H_{0}(D^{n},mathbb {Q} )ad H_{0}(D^{n},mathbb {Q} )} , whose trace is one; all this together implies that {displaystyle Lambda _{f}} is non-zero for any continuous map {displaystyle fcolon D^{n}to D^{n}} .

Historical context Lefschetz presented his fixed-point theorem in (Lefschetz 1926). Lefschetz's focus was not on fixed points of maps, but rather on what are now called coincidence points of maps.

Given two maps {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} from an orientable manifold {stile di visualizzazione X} to an orientable manifold {stile di visualizzazione Y} of the same dimension, the Lefschetz coincidence number of {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} is defined as {displaystyle Lambda _{f,g}=sum (-1)^{K}matematica {tr} (D_{X}circ g^{*}circ D_{Y}^{-1}circ f_{*}),} dove {stile di visualizzazione f_{*}} is as above, {stile di visualizzazione g_{*}} is the homomorphism induced by {stile di visualizzazione g} on the cohomology groups with rational coefficients, e {stile di visualizzazione D_{X}} e {stile di visualizzazione D_{Y}} are the Poincaré duality isomorphisms for {stile di visualizzazione X} e {stile di visualizzazione Y} , rispettivamente.

Lefschetz proved that if the coincidence number is nonzero, poi {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} have a coincidence point. He noted in his paper that letting {displaystyle X=Y} e lasciare {stile di visualizzazione g} be the identity map gives a simpler result, which we now know as the fixed-point theorem.

Frobenius Let {stile di visualizzazione X} be a variety defined over the finite field {stile di visualizzazione k} insieme a {stile di visualizzazione q} elements and let {stile di visualizzazione {sbarra {X}}} be the base change of {stile di visualizzazione X} to the algebraic closure of {stile di visualizzazione k} . The Frobenius endomorphism of {stile di visualizzazione {sbarra {X}}} (often the geometric Frobenius, or just the Frobenius), denotato da {stile di visualizzazione F_{q}} , maps a point with coordinates {stile di visualizzazione x_{1},ldot ,X_{n}} to the point with coordinates {stile di visualizzazione x_{1}^{q},ldot ,X_{n}^{q}} . Thus the fixed points of {stile di visualizzazione F_{q}} are exactly the points of {stile di visualizzazione X} with coordinates in {stile di visualizzazione k} ; the set of such points is denoted by {stile di visualizzazione X(K)} . The Lefschetz trace formula holds in this context, and reads: {displaystyle #X(K)=somma _{io}(-1)^{io}matematica {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{io}({sbarra {X}},mathbb {Q} _{ell })).} This formula involves the trace of the Frobenius on the étale cohomology, with compact supports, di {stile di visualizzazione {sbarra {X}}} with values in the field of {stile di visualizzazione ell } -adic numbers, dove {stile di visualizzazione ell } is a prime coprime to {stile di visualizzazione q} .

Se {stile di visualizzazione X} is smooth and equidimensional, this formula can be rewritten in terms of the arithmetic Frobenius {stile di visualizzazione Phi _{q}} , which acts as the inverse of {stile di visualizzazione F_{q}} on cohomology: {displaystyle #X(K)=q^{dim X}somma _{io}(-1)^{io}matematica {tr} ((Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{io}({sbarra {X}},mathbb {Q} _{ell })).} This formula involves usual cohomology, rather than cohomology with compact supports.

The Lefschetz trace formula can also be generalized to algebraic stacks over finite fields.

See also Fixed-point theorems Lefschetz zeta function Holomorphic Lefschetz fixed-point formula Notes ^ Dold, Alberto (1980). Lectures on algebraic topology. vol. 200 (2nd ed.). Berlino, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10369-1. SIG 0606196., Proposition VII.6.6. References Lefschetz, Solomon (1926). "Intersections and transformations of complexes and manifolds". Transazioni dell'American Mathematical Society. 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171. JSTOR 1989171. SIG 1501331. Lefschetz, Solomon (1937). "On the fixed point formula". Annali di matematica. 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838. JSTOR 1968838. SIG 1503373. link esterno "Lefschetz formula", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] Controllo dell'autorità: Biblioteche nazionali Germania Categorie: Fixed-point theoremsContinuous mappingsTheorems in algebraic topology

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