Théorème de Kutta-Joukowski

Théorème de Kutta-Joukowski Cet article nécessite des citations supplémentaires pour vérification. Aidez-nous à améliorer cet article en ajoutant des citations à des sources fiables. Le matériel non sourcé peut être contesté et supprimé. Trouver des sources: "Théorème de Kutta-Joukowski" – actualités · journaux · livres · universitaires · JSTOR (Peut 2015) (Découvrez comment et quand supprimer ce modèle de message) Le théorème de Kutta-Joukowski est un théorème fondamental en aérodynamique utilisé pour le calcul de la portance d'un profil aérodynamique et de tout corps bidimensionnel comprenant des cylindres circulaires se déplaçant dans un fluide uniforme à une vitesse constante suffisamment grande pour que l'écoulement vu dans le corps soit fixe. le cadre est stable et non séparé. Le théorème relie la portance générée par un profil aérodynamique à la vitesse du profil aérodynamique à travers le fluide, la densité du fluide et la circulation autour de la voilure. La circulation est définie comme la ligne intégrale autour d'une boucle fermée enserrant la voilure de la composante de la vitesse du fluide tangente à la boucle.[1] Il porte le nom de Martin Kutta et Nikolai Zhukovsky (ou Joukowski) qui a développé pour la première fois ses idées clés au début du XXe siècle. Le théorème de Kutta-Joukowski est une théorie non visqueuse, mais c'est une bonne approximation pour un écoulement visqueux réel dans des applications aérodynamiques typiques.[2] Le théorème de Kutta-Joukowski relie la portance à la circulation un peu comme l'effet Magnus relie la force latérale (appelée force de Magnus) à la rotation.[3] Cependant, la circulation ici n'est pas induite par la rotation de la voilure. L'écoulement de fluide en présence de la voilure peut être considéré comme la superposition d'un écoulement en translation et d'un écoulement en rotation. Ce flux tournant est induit par les effets de carrossage, l'angle d'attaque et le bord de fuite aigu du profil aérodynamique. Il ne doit pas être confondu avec un vortex comme une tornade encerclant le profil aérodynamique. A grande distance de la voilure, le flux rotatif peut être considéré comme induit par un vortex linéaire (avec la ligne tournante perpendiculaire au plan bidimensionnel). Dans la dérivation du théorème de Kutta – Joukowski, le profil aérodynamique est généralement mappé sur un cylindre circulaire. Dans de nombreux manuels, le théorème est prouvé pour un cylindre circulaire et le profil aérodynamique de Joukowski, mais c'est vrai pour les profils aérodynamiques généraux.

Contenu 1 Formule de force de levage 2 La circulation et la condition Kutta 3 Dérivation 3.1 Argument heuristique 3.2 Dérivation formelle 4 Forces de levage pour des situations plus complexes 5 Voir également 6 Références 7 Bibliographie Formule de la force de portance Le théorème s'applique à un écoulement bidimensionnel autour d'un profil fixe (ou toute forme d'étendue infinie). La portance par unité de travée {displaystyle L',} du profil aérodynamique est donnée par[4] {displaystyle L^{prime }=rhô _{infime }V_{infime }Gamma ,,} (1) où {style d'affichage rho _{infime },} et {style d'affichage V_{infime },} sont la densité du fluide et la vitesse du fluide loin en amont du profil aérodynamique, et {style d'affichage Gamma ,} est la circulation définie comme l'intégrale linéaire {style d'affichage Gamma = point _{C}Vcdot dmathbf {s} =point _{C}Vcos thêta ;dès,} autour d'un contour fermé {displaystyle C} enfermant la voilure et suivi dans le négatif (dans le sens des aiguilles d'une montre) direction. Comme expliqué ci-dessous, ce chemin doit être dans une zone d'écoulement potentiel et non dans la couche limite du cylindre. L'intégrande {style d'affichage Vcos thêta ,} est la composante de la vitesse locale du fluide dans la direction tangente à la courbe {displaystyle C,} et {style d'affichage ds,} est une longueur infinitésimale sur la courbe, {displaystyle C,} . Équation (1) est une forme du théorème de Kutta-Joukowski.

Kuethe et Schetzer énoncent le théorème de Kutta-Joukowski comme suit:[5] La force par unité de longueur agissant sur un cylindre droit de section quelconque est égale à {style d'affichage rho _{infime }V_{infime }Gamma } et est perpendiculaire à la direction de {style d'affichage V_{infime }.} Circulation et état de Kutta Article principal: État de Kutta Un profil aérodynamique produisant de la portance a soit un carrossage, soit fonctionne à un angle d'attaque positif, l'angle entre la ligne de corde et l'écoulement du fluide loin en amont du profil aérodynamique. En outre, le profil aérodynamique doit avoir un bord de fuite pointu.

Tout fluide réel est visqueux, ce qui implique que la vitesse du fluide s'annule sur le profil aérodynamique. Prandtl a montré que pour un grand nombre de Reynolds, défini comme {style d'affichage {Mathord {texte{Concernant}}}={frac {rho V_{infime }c_{UN}}{dans }},} , et petit angle d'attaque, l'écoulement autour d'un profil aérodynamique mince est composé d'une région visqueuse étroite appelée couche limite près du corps et d'une région d'écoulement non visqueuse à l'extérieur. En appliquant le théorème de Kutta-Joukowski, la boucle doit être choisie en dehors de cette couche limite. (Par exemple, la circulation calculée à partir de la boucle correspondant à la surface de la voilure serait nulle pour un fluide visqueux.) L'exigence de bord de fuite aigu correspond physiquement à un écoulement dans lequel le fluide se déplaçant le long des surfaces inférieure et supérieure du profil aérodynamique se rencontrent en douceur, sans fluide se déplaçant autour du bord de fuite du profil aérodynamique. C'est ce qu'on appelle la condition de Kutta.

Kutta et Joukowski ont montré que pour calculer la pression et la portance d'un profil aérodynamique mince pour un écoulement à grand nombre de Reynolds et petit angle d'attaque, l'écoulement peut être supposé non visqueux dans toute la région à l'extérieur du profil aérodynamique à condition que la condition de Kutta soit imposée. Ceci est connu sous le nom de théorie de l'écoulement potentiel et fonctionne remarquablement bien dans la pratique.

Dérivation Deux dérivations sont présentées ci-dessous. Le premier est un argument heuristique, basé sur la perspicacité physique. La seconde est formelle et technique, nécessitant une analyse vectorielle de base et une analyse complexe.

Argument heuristique Pour un argument heuristique, considérer un profil aérodynamique mince de corde {displaystyle c} et durée infinie, se déplaçant dans l'air de densité {style d'affichage rho } . Laissez le profil aérodynamique être incliné vers le flux venant en sens inverse pour produire une vitesse d'air {style d'affichage V} d'un côté du profil aérodynamique, et une vitesse de l'air {afficher V+v} d'un autre côté. La circulation est alors {style d'affichage Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.,} La différence de pression {style d'affichage Delta P} entre les deux côtés du profil aérodynamique peut être trouvé en appliquant l'équation de Bernoulli: {style d'affichage {commencer{aligné}{frac {Rho }{2}}(V)^{2}+(P+Delta P)&={frac {Rho }{2}}(V+v)^{2}+P,,\{frac {Rho }{2}}(V)^{2}+Delta P&={frac {Rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),,\Delta P&=rho Vvqquad {texte{(ignorer }}{frac {Rho }{2}}v^{2}),,fin{aligné}}} donc la force vers le bas sur l'air, par unité de portée, est {style d'affichage L'=cDelta P=rho Vvc=-rho VGamma ,} et la force ascendante (ascenseur) sur le profil aérodynamique est {style d'affichage rho VGamma .,} Une version différentielle de ce théorème s'applique sur chaque élément de la plaque et est à la base de la théorie des profils minces.

Dérivation formelle Dérivation formelle du théorème de Kutta-Joukowski Tout d'abord, la force exercée sur chaque unité de longueur d'un cylindre de section arbitraire est calculée.[6] Soit cette force par unité de longueur (désormais appelé simplement force) être {style d'affichage mathbf {F} } . Alors la force totale est: {style d'affichage mathbf {F} =-point _{C}pmathbf {n} ,dès,} où C désigne la limite du cylindre, {style d'affichage p} est la pression statique du fluide, {style d'affichage mathbf {n} ,} est le vecteur unitaire normal au cylindre, et ds est l'élément d'arc de la limite de la section transversale. Maintenant, laisse {style d'affichage phi } Soit l'angle entre le vecteur normal et la verticale. Alors les composantes de la force ci-dessus sont: {style d'affichage F_{X}=-point _{C}psin phi ,dès,,qquad F_{y}=point _{C}spc phi ,ds.} Vient maintenant une étape cruciale: considérer l'espace bidimensionnel utilisé comme un plan complexe. Ainsi, chaque vecteur peut être représenté par un nombre complexe, avec sa première composante égale à la partie réelle et sa deuxième composante égale à la partie imaginaire du nombre complexe. Alors, la force peut être représentée comme: {style d'affichage F=F_{X}+si_{y}=-point _{C}p(sin phi -icos phi ),ds.} L'étape suivante consiste à prendre le conjugué complexe de la force {style d'affichage F} et faire quelques manipulations: {style d'affichage {bar {F}}=-point _{C}p(sin phi + icos phi ),ds=-ioint _{C}p(cos phi -isin phi ),ds=-ioint _{C}pe ^{-où est-il },ds.} Les segments de surface ds sont liés aux changements dz le long d'eux par: {style d'affichage {commencer{aligné}dz&=dx+idy=ds(cos phi + isin phi )=ds,e ^{où est-il }\{}Flèche droite d{bar {z}}&=e^{-où est-il }ds.fin{aligné}}} Rebrancher ceci dans l'intégrale, le résultat est: {style d'affichage {bar {F}}=-ioint _{C}p,ré{bar {z}}.} Maintenant, l'équation de Bernoulli est utilisée, afin d'éliminer la pression de l'intégrale. Tout au long de l'analyse, on suppose qu'il n'y a pas de champ de force extérieur présent. La masse volumique du flux est {style d'affichage rho .} Puis la pression {style d'affichage p} est lié à la vitesse {style d'affichage v=v_{X}+iv_{y}} par: {style d'affichage p=p_{0}-{frac {Rho |v|^{2}}{2}}.} Avec cela la force {style d'affichage F} devient: {style d'affichage {bar {F}}=-ip_{0}point _{C}ré{bar {z}}+je{frac {Rho }{2}}point _{C}|v|^{2},ré{bar {z}}={frac {peau }{2}}point _{C}|v|^{2},ré{bar {z}}.} Il ne reste qu'un pas à faire: introduire {style d'affichage w=f(z),} le potentiel complexe du flux. Ceci est lié aux composantes de vitesse comme {style d'affichage w'=v_{X}-iv_{y}={bar {v}},} où l'apostrophe dénote la différenciation par rapport à la variable complexe z. La vitesse est tangente à la frontière C, donc cela veut dire que {style d'affichage v=pm |v|e ^{où est-il }.} Par conséquent, {style d'affichage v^{2}ré{bar {z}}=|v|^{2}dz,} et l'expression désirée pour la force est obtenue: {style d'affichage {bar {F}}={frac {peau }{2}}point _{C}w' ^{2},dz,} qui s'appelle le théorème de Blasius.

Pour arriver à la formule de Joukowski, cette intégrale doit être évaluée. De l'analyse complexe, on sait qu'une fonction holomorphe peut être présentée comme une série de Laurent. De la physique du problème, on déduit que la dérivée du potentiel complexe {style d'affichage w} aura l'air ainsi: {style d'affichage dans '(z)=a_{0}+{frac {un_{1}}{z}}+{frac {un_{2}}{z ^{2}}}+cdots .} La fonction ne contient pas de termes d'ordre supérieur, puisque la vitesse reste finie à l'infini. Alors {style d'affichage a_{0},} représente la dérivée du potentiel complexe à l'infini: {style d'affichage a_{0}=v_{xinfty }-iv_{yinfty },} . La tâche suivante consiste à découvrir la signification de {style d'affichage a_{1},} . En utilisant le théorème des résidus sur la série ci-dessus: {style d'affichage a_{1}={frac {1}{2pi je}}point _{C}w',dz.} Effectuez maintenant l'intégration ci-dessus: {style d'affichage {commencer{aligné}point _{C}w'(z),dz&=oint _{C}(v_{X}-iv_{y})(dx+idy)\&=oint _{C}(v_{X},dx+v_{y},mourir)+ioint _{C}(v_{X},vous-v_{y},dx)\&=oint _{C}mathbf {v} ,{dès}+ioint _{C}(v_{X},vous-v_{y},dx).fin{aligné}}} La première intégrale est reconnue comme la circulation notée par {style d'affichage Gamma .} La deuxième intégrale peut être évaluée après quelques manipulations: {displaystyle oint _{C}(v_{X},vous-v_{y},dx)=point _{C}la gauche({frac {psi partiel }{y partiel}}moi+{frac {psi partiel }{partiel x}}dxright)=point _{C}dpsi =0.} Ici {style d'affichage psi ,} est la fonction de flux. Puisque la bordure C du cylindre est elle-même une ligne de courant, la fonction stream ne change pas dessus, et {style d'affichage dpsi =0,} . Donc l'intégrale ci-dessus est nulle. Par conséquent: {style d'affichage a_{1}={frac {Gamma }{2pi je}}.} Prendre le carré de la série: {style d'affichage w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{frac {un_{0}Gamma }{pi de}}+cdots .} Rebrancher cela dans la formule Blasius – Chaplygin, et effectuer l'intégration en utilisant le théorème des résidus: {style d'affichage {bar {F}}={frac {peau }{2}}la gauche[2pi je{frac {un_{0}Gamma }{pi je}}droit]=irho a_{0}Gamma =irho Gamma (v_{xinfty }-iv_{yinfty })=rho Gamma v_{yinfty }+aller à Gamma v_{xinfty }=F_{X}-si_{y}.} Et donc la formule de Kutta-Joukowski est: {style d'affichage {commencer{aligné}F_{X}&=rho Gamma v_{yinfty },,&F_{y}&=-rho Gamma v_{xinfty }.fin{aligné}}} Forces de portance pour des situations plus complexes La portance prédite par le théorème de Kutta-Joukowski dans le cadre de la théorie de l'écoulement potentiel non visqueux est assez précise, même pour un écoulement visqueux réel, à condition que le flux soit régulier et non séparé.[7] En dérivant le théorème de Kutta-Joukowski, l'hypothèse d'un flux irrotationnel a été utilisée. Lorsqu'il y a des tourbillons libres à l'extérieur du corps, comme cela peut être le cas pour un grand nombre d'écoulements instationnaires, le flux est rotatif. Lorsque le flux est rotatif, des théories plus compliquées doivent être utilisées pour dériver les forces de portance. Voici quelques exemples importants.

Ecoulement amorcé impulsivement à petit angle d'attaque Pour un écoulement amorcé impulsivement tel qu'obtenu en accélérant brusquement un profil aérodynamique ou en fixant un angle d'attaque, il y a une nappe vortex continuellement détachée au bord de fuite et la force de portance est instable ou dépendante du temps. Pour un débit de démarrage à petit angle d'attaque, la nappe tourbillonnaire suit une trajectoire plane, et la courbe du coefficient de portance en fonction du temps est donnée par la fonction de Wagner.[8] Dans ce cas, la portance initiale est la moitié de la portance finale donnée par la formule de Kutta-Joukowski.[9] L'ascenseur atteint 90% de sa valeur en régime permanent lorsque l'aile a parcouru une distance d'environ sept longueurs de corde. Débit démarré de manière impulsive à grand angle d'attaque Lorsque l'angle d'attaque est suffisamment élevé, la nappe tourbillonnaire du bord de fuite est initialement en forme de spirale et la portance est singulière (infiniment grand) au temps initial.[10] La portance chute pendant une très courte période de temps avant que la courbe de portance à augmentation monotone généralement supposée ne soit atteinte. Débit de démarrage à grand angle d'attaque pour les ailes à bords d'attaque tranchants Si, comme pour une assiette plate, le bord d'attaque est également pointu, alors les tourbillons se détachent également au bord d'attaque et le rôle des tourbillons de bord d'attaque est double:ils voient leur portance augmenter lorsqu'ils sont encore proches du bord d'attaque, de sorte qu'ils élèvent la courbe de levage de Wagner,ils sont préjudiciables à la portance lorsqu'ils sont convectés vers le bord de fuite, induire une nouvelle spirale tourbillonnaire de bord de fuite se déplaçant dans la direction décroissante de la portance. Pour ce type d'écoulement, une ligne de force vortex (VFL) carte[11] peut être utilisé pour comprendre l'effet des différents tourbillons dans une variété de situations (incluant plus de situations que le flux de départ) et peut être utilisé pour améliorer le contrôle des tourbillons afin d'améliorer ou de réduire la portance. La carte des lignes de force vortex est une carte bidimensionnelle sur laquelle les lignes de force vortex sont affichées. Pour un vortex en tout point de l'écoulement, sa contribution à la portance est proportionnelle à sa vitesse, sa circulation et le cosinus de l'angle entre la ligne de courant et la ligne de force du tourbillon. Par conséquent, la carte de la ligne de force du vortex indique clairement si un vortex donné produit de la portance ou nuit à la portance.. Théorème de Lagally Lorsqu'un (Masse) la source est fixée à l'extérieur du corps, une correction de force due à cette source peut être exprimée comme le produit de la force de la source extérieure et de la vitesse induite à cette source par toutes les causes sauf cette source. C'est ce qu'on appelle le théorème de Lagally.[12] Pour un écoulement non visqueux bidimensionnel, le théorème classique de Kutta Joukowski prédit une traînée nulle. Lorsque, toutefois, il y a un vortex à l'extérieur du corps, il y a une traînée induite par le vortex, sous une forme similaire à la portance induite. Théorème de Lagally généralisé Pour les tourbillons libres et autres corps à l'extérieur d'un corps sans tourbillon lié et sans production de tourbillons, un théorème de Lagally généralisé tient,[13] avec lequel les forces sont exprimées comme les produits de la force des singularités internes (tourbillons d'images, sources et doublets à l'intérieur de chaque corps) et la vitesse induite à ces singularités par toutes les causes sauf celles à l'intérieur de ce corps. La contribution due à chaque singularité intérieure s'additionne pour donner la force totale. Le mouvement des singularités extérieures contribue également aux forces, et la composante de force due à cette contribution est proportionnelle à la vitesse de la singularité. Force individuelle de chaque corps pour un flux de rotation à plusieurs corps En plus de plusieurs tourbillons libres et de plusieurs corps, il y a des tourbillons liés et une production de tourbillons à la surface du corps, le théorème de Lagally généralisé tient toujours, mais une force due à la production de vortex existe. Cette force de production de vortex est proportionnelle au taux de production de vortex et à la distance entre la paire de vortex en production. Avec cette approche, une formule de force explicite et algébrique, prise en compte de toutes les causes (singularités internes, tourbillons et corps extérieurs, mouvement de toutes les singularités et corps, et production de tourbillons) détient individuellement pour chaque corps[14] avec le rôle d'autres corps représentés par des singularités supplémentaires. Une décomposition des forces selon les corps est donc possible. Écoulement visqueux tridimensionnel général Pour les écoulements visqueux tridimensionnels généraux, écoulement visqueux et instable, les formules de force sont exprimées sous forme intégrale. L'intégration volumique de certaines grandeurs de débit, comme les moments de tourbillon, est lié aux forces. Diverses formes d'approche intégrale sont maintenant disponibles pour le domaine illimité[9][15][16] et pour le domaine artificiellement tronqué.[17] Le théorème de Kutta Joukowski peut être récupéré à partir de ces approches lorsqu'il est appliqué à un profil aérodynamique bidimensionnel et lorsque l'écoulement est stable et non séparé. Théorie de la ligne de portance pour les ailes, tourbillons de bout d'aile et traînée induite Une aile a une envergure finie, et la circulation à n'importe quelle section de l'aile varie avec la direction d'envergure. Cette variation est compensée par la libération de tourbillons dans le sens du courant, appelés tourbillons traînants, en raison de la conservation de la vorticité ou du théorème de Kelvin de la conservation de la circulation. Ces tourbillons dans le sens du courant fusionnent en deux spirales fortes contrarotatives séparées par une distance proche de l'envergure et leurs noyaux peuvent être visibles si l'humidité relative est élevée. Traiter les tourbillons de fuite comme une série de tourbillons en ligne droite semi-infinis conduit à la théorie bien connue de la ligne de levage. Par cette théorie, l'aile a une force de portance inférieure à celle prédite par une théorie purement bidimensionnelle utilisant le théorème de Kutta – Joukowski. Cela est dû aux effets en amont de l'ajout des tourbillons de fuite sur l'angle d'attaque de l'aile. Cela réduit l'angle d'attaque effectif de l'aile, diminuant la quantité de portance produite à un angle d'attaque donné et nécessitant un angle d'attaque plus élevé pour récupérer cette portance perdue. A ce nouvel angle d'attaque plus élevé, la traînée a également augmenté. La traînée induite réduit efficacement la pente de la courbe de portance d'un profil aérodynamique 2D et augmente l'angle d'attaque de {displaystyle C_{L_{maximum }}} (tout en diminuant la valeur de {displaystyle C_{L_{maximum }}} ). Voir aussi Références de vortex en fer à cheval ^ Anderson, J. ré. Junior. (1989). "Pression, Température, et altitudes de densité". Introduction au vol (3e éd.). New York: McGraw Hill. pp. 100–103. ISBN 0-07-001641-0. ^ Liu, L. Q; Zhu, J. Y.; Wu, J. Z. (2015). "Ascenseur et traînée dans un écoulement visqueux et compressible stable bidimensionnel". Journal de mécanique des fluides. 784: 304–341. Code bib:2015JFM...784..304L. est ce que je:10.1017/jfm.2015.584. 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